成本函数（cost function）指在技术水平和要素价格不变的条件下，成本与产出之间的相互关系。成本理论主要分析成本函数。成本函数和成本方程不同，成本函数说的是成本和产量之间的关系，成本方程说的是成本等于投入要素价格的总和，如果投入的是劳动L和资本K，其价格为PL和PK，则成本方程是C=L·PL+K·PK，成本方程是一个恒等式，而成本函数则是一个变量为产量的函数式。

用表格表示长短期成本函数的基本情况：

从模型的描述和比较W1，W2，很容易得到一些关于长期成本函数和短期成本函数的关系。

性质1：给定要素价格，对任意的产量y，和任意的固定要素量X2，一定有C(W1，W2，Y)≤C(W1，W2，Y，X)。

证明：因为短期成本函数模型相对与长期成本函数的模型，所有条件都一样，只是增加了一条约束条件。所以短期成本函数模型中的可行域小于长期成本函数模型的可行域，从而前者的最小目标函数值不可能比后者的最小目标函数值值更小。而模型最小目标函数值正是成本函数值。

说明：这条性质说明，长期成本曲线在任意一条短期成本曲线的下方。

性质2：给定要素价格W1，W2，对任意的产量y，存在某个固定要素量X2，使得C(W1，W2，Y)=C(W1，W2，Y，X)。

证明：事实上，取*x2=x2=x2(w1，w2，y)，则从预算约束的成立，可以推知，一定有x(w1，w2，y，x)=x(w1，w2，y)，从而：C(w1，w2，y)=w1x1(w1，w2，y)+w2x2*=wx1(w，w，y，x*)+w2x2*=C(w1，w2，y，x*)。

说明：这条性质说的是，长期成本上的任意一点，都有一条短期成本线可以达到它。

性质3：给定要素价格W1，W2，对任意的产量y，由性质2知道存在某个固定要素量X2，使得C(w1，w2，y)=C(w1，w2，y，x)。那么对于任意的y′≠y，一定有1：C(w1，w2，y′)

证明：因为在y′下，要素x1=x1(w1，w2y′)，x2=x2(w1，w2，y′)是最优选择，所以对任意能生产出y′的其他要素组合x1′，x2′，一定有：w1x1(w1，w2，y′)+w2x2(w1，w2，y′)

说明：这条性质说的是，对于长期成本上的任一点，有一条短期成本曲线可以达到它。但是这条短期成本曲线在其他产量水平下，都是高于长期成本曲线的。这也就是说，在长期成本的任一点，不仅有一条短期成本曲线达到它，并且是以和它相切的方式达到。

性质1，2描述的一般性曲线关系，就叫做“包络”关系。说白了，就是包络线在下面，包住了所有曲线，并且包络线的每一点，要能被曲线族中的某一条曲线取到。上述是成本曲线的关系，平均成本曲线就是在所有等式、不等式两边同除以y，所有性质还是成立的。于是，长期平均成本一样是短期平均成本的包络线。

短期成本函数反映了在技术、规模、要素价格给定条件下，最低成本随着产量变动而变动的一般规律。技术水平是通过生产函数来刻划的。因此，成本函数和生产函数之间存在着非常密切的关系。若给定生产函数和要素价格，就可以推导出成本函数。

成本与产量之间关系的函数图象表示。从长期来看，企业的成本耗费无论是数量上或是利用率上都是处于变化之中的，企业生产每一数量产品的最低成本就是长期总成本。长期总成本曲线就是长期总成本函数的图象表示：

长期总成本曲线的陡峭程度完全取决于生产函数和生产要素的价格。此曲线表现出这样几项特点：其一，成本和产量有直接关系，从上图中可以看出曲线有正科率，它表明产量增加，总成本就会增加，说明资源是有限的。其二，LRTC曲线先以一逐渐递减的比率，然后再以一个逐渐递增的比率上升，从上可以看出X产量的增量是相对的，而C成本的增量先是递减，然后是递增，即X1X2=X2X3时，但C1C2＞C2C3，相反，当X4X5=X5X6jf，C4C5＞C5C6。

从短期来看，企业耗费的成本有一总值是固定的，如厂房设备折旧费等，有一部分则是变化的，如原材料、人工费等。所以，产品的短期总成本总是等于固定总成本与总变动成本之和，短期总成本曲线就是短期总成本函数的图象表示。

下面是一个具体的例子。

设：生产函数：

约束函数：

要素价格：

则要素边际产量：

最低成本的要素投入组合的必要条件：

由此得到要素最佳投入比例：

分别将(3)、(4)代人生产函数(1)得：

将（5）代人约束函数(2)得：

就是（6）

（6）就是得到的成本函数。该成本函数的边际成本和平均成本都是常数，不具有典型形态。

经济分析中的成本曲线和生产曲线具有非常工整的对应关系：

1、总产量曲线和总成本曲线：

随着变动要素投入量的增加，总产量先递增地增加，然后递减地增加。与此对应，随着产量的增加，总成本先递减地增加，然后递增地增加。

2、边际产量曲线与边际成本曲线：

随着劳动投人量的增加，边际产量先提高，后下降。与此对应，随着产量的增加，边际成本先下降，后提高。使边际产量最大的变动要素投入量，对应于边际成本最低的产量。

3、平均产量曲线与平均变动成本曲线：

随着劳动投入的增加，平均产量先提高，后下降。与此对应，随着产量的增加，平均变动成本先下降，后上升。使平均产量最大的变动要素投入量，对应于平均变动成本最低的产量