量度物体惯性的物理量。实验发现，在惯性系中，若在两不同物体上施加相同的力，则两物体加速度之比a1/a2是一个常数，与力的大小无关。此结果表明，a1/a2之值仅由该两物体本身的惯性所决定，与其他因素无关。物理学中规定各物体的惯性质量与它们在相同的力作用下获得的加速度数值成反比。若用m1及m2分别表示两物体的惯性质量，则m2/m1=a1/a2。选定其中一物体的惯性质量作为惯性质量的单位后，另一物体的惯性质量可通过实验由上式确定。在国际单位制中，对应普朗克常数为6.62607015×10^-34J·s时的质量作为单位，称为“千克” 。

根据牛顿万有引力定律，宇宙万物间都存在着吸引力。引力的大小跟物体间的距离有关，跟物体本身所具有的产生引力场和受其它引力场作用的能力有关。物体的这种能力的大小用质量来表征，这就是经典力学中的引力质量。本文从万有引力定律引入质量的概念，从而推出惯性质量的本质。为完整起见，现将万有引力定律的定量关系简述如下:

质量分别为M和m的两个质点，相距为r,它们之间的引力为

F=G0Mm/r^2 （1）

式中G0为万有引力常数，r为两质点之间的距离。

物体只在万有引力的作用下，或转化（下一节将对“转化”作专门论述）为物体的加速度，或表现为物体的重力（这里的重力，相当于经典力学中的视重），或两者同时有之。如一个物体在地面附近自由下落（忽略空气阻力，下同），下落过程中，地球对物体的引力完全转化为物体相对地球的加速度，重力为零。当物体下落到一张桌面时，就受到桌面对它的阻力，使得只有极少部分引力转化为物体的加速度（设物体不在两极，若在两极，引力就完全表现为物体的重力），大部分表现为物体的重力，重力的大小等于地球引力与转化为加速度的那部分引力之差。我们把这种阻止引力转化为加速度的力，叫做称力。称力与重力是一对平衡力。上例中桌面对物体的阻力就是称力，与该物体的重力是一对平衡力。

一个物体在万有引力的作用下，为什么说引力转化为加速度了呢？我们不妨设想有一个密封舱，舱内有一物体m随舱一起相对地球作自由落体运动，舱内观察者认为，物体m不受任何外力的作用，处于静止状态，重力为零。与人们常说的远离任何物质的空间中的物体不受引力的作用的情形等效，故说引力转化为物体的加速度。下面引入一个重要的定义。

定义 物体在万有引力的作用下，当引力完全转化为物体的加速度时，我们就说该物体处于自然状态，处于自然状态的物体的重力为零。

以上所说的密封舱及物体m均处于自然状态。由称力的定义，得出以下重要结论，将替代经典力学中的惯性定律。

定律1 任何具有质量的物体都保持自然状态，直到有称力迫使它改变这种状态为止。

称力是引力表现为重力的充要条件，称力的存在，是破坏物体保持自然状态的重要条件。

设想有三个单向透明舱，（在舱内的观察者无法看到舱外的情况，但舱外观察者可以看到舱内发生的事情。）在地球引力场内，一个自由下落，一个作斜抛运动，一个围绕地球运动。这三个舱均处于自然状态，在这些舱内无法进行这样的力学实验，以分辨各舱的实际运动情况。可见，处于自然状态的物体作为参照系是等价的，为方便起见，我们就自由下落的情形作进一步的讨论。

有一个单向透明舱，在地球Me上空自由下落

该舱相对地球处于自然状态，舱内有一物体m相对该舱静止，显然，m也处于自然状态。无论对m施加何种方向的力，在舱内均能用牛顿运动定律解决，即该舱可以看作经典力学中的惯性参照系。若舱内物体m相对该舱有一恒定的速度v

即处于匀速直线运动状态。在舱外观察发现，物体m与舱都在地球上空作自由落体运动，只是下落速度不同，可看作物体m先于该舱作自由落体运动，物体m仍处于自然状态。

现把舱与一滑杆相连，并沿滑杆自由下落

舱内观察者认为，物体m在一种力的持续作用下，产生相对该舱的加速度a，物体具有重力，不处于自然状态。从舱外看，这种产生加速度的力就是如前所说的称力。称力的大小等于地球对物体m的引力所表现出的重力。产生同样大小的加速度a，称力与物体的质量m成正比例。由此可见，经典力学中的惯性质量本质上就是上面所讲的引力质量，也就是说，在舱内看是所谓的惯性质量，在舱外就能看到它的本质是引力质量。

我们再把单向透明舱静止在地面上

舱内物体m处于静止状态,若对物体m施加一个水平方向的力F，并产生相对舱的加速度a。证明力F是称力。我们把图四中地球Me与舱组成的系统放入一个更大的单向透明舱

这时，我们必须跳到舱外观察，该舱相对更大的物体Ms以加速度as自由下落，处于自然状态，力F的大小等于Ms对m的引力所表现出的重力，力F是称力，即m本质上为引力质量。若没有F的作用，物体m在水平方向处于自然状态。

若把以上的Ms看作太阳的质量，地面上的一列火车突然以加速度a向前启动，桌面上的一物体m（不计摩擦力）将以相反的加速度－a向相反方向运动。经典力学认为,使物体以加速度－a运动的力是一种假想的惯性力（图六）：

从图六不难理解，经典力学中惯性力实质就是Ms对物体m的万有引力,此时，物体m在水平方向处于自然状，直到物体m受到车厢后壁称力的作用，产生水平方向的重力为止。该重力随称力的增大而增大。如果称力的增大永远能实现，即存在无限大的重力，则证明宇宙间有无限的质量，即物质是无限的，反之，若称力增大到一定程度，物体的运动不再受牛顿运动定律支配，则证明宇宙间物质的质量是有限的。

五、惯性系的本质

我们知道，运动是物体间的相对运动，研究物体的运动，参照系的质量和研究对象的质量是极其重要的，本论将以以下结论代替牛顿第二定律：

定律2 设物体的质量为m，参照系的质量为M,物体m在力F的作用下，产生（或转化为）相对M的加速度a,存在关系

F= (Mm/(M+m))a （2）

从理论上说，我们可以抛掉惯性系，用更普遍的（2）式代替牛顿第二定律。当M>>m时，M/(M+m)≈1， F≈ma，可见，牛顿第二定律是定律2的特例。经典力学所寻找的惯性系实质是大质量的物体，严格的说应是质量远大于研究对象的物体。由于不存在一个质量为无限的物体，所谓严格的惯性系不是找不到，而是不存在。本论认为，任何处于自然状态的且质量远大于研究对象的物体，作为参照系是十分方便有效的。如地球相对太阳处于自然状态，且质量远大于地面上的物体，故是一个十分接近惯性系的参照系。对于质量悬殊不大的物体，研究其相对运动，直接用（2）式是可行的。如有一个物体的质量m与地球质量Me大小接近，这时就不能把地球作为惯性系，当m在地面附近自由下落，其下落的加速度决不是1千克小球下落的加速度，其加速度a可由万有引力的表达式（1）与定律2的表达式（2）联立，得，

a=G0(Me+m)/r^2

当m<伽利略“斜塔实验”的传说至今不衰的原因，即便在今天亦无法测出a与G0Me/r^2间的差。

惯性质量和引力质量是两个不同的物理概念。万有引力定律公式中的质量称为引力质量，它表示物体产生引力场或变引力作用的本领，一般用天平称得的物体质量就是物体的引力质量。牛顿第二定律公式中的质量称为惯性质量，它是物体惯性的量度，用惯性秤可以确定物体的惯性质量。

物体在恒力F作用下做加速度为a的直线运动，如果设法测出F和a，可求得物体的惯性质量。实验室中采用使物体在弹性力作用下做变加速直线运动，即简谐运动的方法来确定其惯性质量，也就是通过测定其振动周期T=2*pi*sqr(m/k) ，来比较物体的惯性质量。

我们排除掉特殊的物质所具有的特殊性，比如电荷具有的电的作用，具有磁性的物质具有的磁的作用，而仅考察所有的物质所具有的共性。大量的经验事实使我们可以得到两种获得物体质量的方法。

一种方法是利用物体本身具有的惯性，给这个物体施加一个矢量的作用力，那么这个物体会在这个作用力的作用下发生存在状态的改变。这一点是所有特定质量的物质都具备的。我们通常将这种方法所测得的质量叫做惯性质量。具体的方法则是：

在物体处于特定存在状态的时候，如果要改变这种存在状态，那么必然要对这个物体施加作用力，根据牛顿第二运动定律，我们可以得到，在物体所受到的作用力不变的情况下，物体的质量同加速度成反比。我们只要测定了作用力的大小和物体加速度的大小，那么就可以确定物体的质量。

另一种方法是处于引力场中的具有质量的物质，都会受到引力的作用。在同一引力场强度下，物体所受到的作用力同物体的质量成正比。我们通常将这种方法得出的质量叫做引力质量。我们所应用的质量模式可以认为是引力质量模式。因为引力质量是我们采用质量的定义所得到的最初的模式。

但实际上，这样的一种经验结论是通过对大量的处于地球引力场中的物体进行观察所得出的结论，开创性的贡献可以认为是由牛顿先生来完成的。

在质量的应用历史上，我们甚至不能分辨引力质量和惯性质量的应用的先后。因为我们通过引力质量的模式确定物体的质量，但是在实际的应用过程中，我们通常都是将两种模式的质量通用。具体表现在如下的方面：

最初我们所采用的质量都是采用引力质量的方法测定的，具体的方法则是采用天平的模式建立的。即：建立一个标准单位质量，然后通过这一标准单位质量去在地球的引力场中去衡量其它物体质量的模式来确定物体的质量。我们利用这种方法得到的质量来对物体的运动变化进行计量，比如牛顿第二运动定律的量的模式，就是采用这种方法来确定的。采用引力质量来确定物体的量，然后再采用惯性质量的模式来建立物质的运动变化规律。

我们虽然可以采用两种方法得到物体的质量。但是这两种物体的质量定量的模式在属性上都是相同的，都是采用作用力的方法进行定量。不论是引力场给与物体的作用力得到质量的特点，还是给物体施加作用力改变物体运动状态所表现出的物体质量的特点。只要作用力的属性是相同的，那么物体的质量属性就是相同的。但实际上物体的质量和作用力都是采用循环定义的。用作用力去定量物体的质量或者用物体的质量去定量作用力。另一方面是，不论是引力还是我们给物体施加的作用力，都是力，都具有力的属性，在这方面，是没有区别的。因此两种质量是没有区别的。或者惯性质量和引力质量的属性是相同的，甚至可以说，两种质量没有任何的区别，唯一存在区别的是采用的定量方法不同。

在牛顿定律中 质量的概念是作为物体的惯性的量度而提出的．实验表明，以同样大小的力作用到不同的物体上时，一般说来它们所获得的加速度是不同的．例如象前面所说过的那样，用同样大小的力推动一辆空车和一辆载重车时，空车获得的加速度要比载重车获得的加速度大．这就说明，在外加力的作用下，物体所获得的加速度不仅与力有关，而且还与物体本身的某种特性有关．这个特性就是惯性．在同样大小的力作用下，空车获得的加速度大，就表明它维持原有运动状态的能力小，即惯性小；载重车获得的加速度小，就表明它维持原有运动状态的能力大，即惯性大．在物理学中，就引入惯性质量这样一个物理量来表示物体惯性的大小．当然，这里所说的“物体”仍应理解为是指质点．所以可以说，惯性质量是物体被当做质点时其惯性大小的量度．如前所述，一个实际物体只有当它仅做平动时才可被当做质点，故也可以说，惯性质量是物体平动时惯性大小的量度．由于物体的平动惯性是物体的固有属性，故不论物体是否在做平动，对它谈及惯性质量都是有意义的．

前面曾经谈到，物体除了平动惯性外，还具有转动惯性．例如，对于绕某固定轴线转动的物体，其转动惯性是用什么来量度的呢？由在第一部分中得到的、表示刚体绕固定轴转动的转动定律M=Iβ可知，若施相同的外力矩M于转动惯量I不同的物体，则所得的角加速度β是不同的：转动惯量越大的物体获得的角加速度越小，说明物体保持原来的转动状态的特性越强，即转动惯性越强；相反地，转动惯量越小的物体获得的角加速度越大，说明物体保持原来的转动状态的特性越弱，即转动惯性越弱．由此可见，转动惯量是物体转动惯性大小的量度．

由于惯性质量是物体平动惯性大小的量度，故根据它本身的这种含义，再和“转动惯量”的叫法对比可知，应把它改称“平动惯量”方才贴切．但由于历史的原因，大家已经习惯于“惯性质量”这种叫法了．并在通常的情况下，就把“惯性质量”简称为“质量”．

如前所述，定义一个物理量，就必须相应地规定出它的量度方法．为了量度质量的大小，可做如下规定：各物体的质量和它们在同样大小的外加力作用下所获得的加速度的大小成反比，即a∝1/m（在一定力作用下） （1）

选定某一标准体（如千克原器）为惯性质量的标准，其它物体的惯性质量的大小，可以借助上述关系式，用测量加速度的办法与标准体的惯性质量加以比较来求出．设m0为质量标准，则有m/m0=a0/a （2）

就可以确定另一个物体的质量m了．这样就从原则上得到了质量的一种量度方法．

由于在这种量度方法中所用的具有人为规定性的（1）式，容易和牛顿第二定律中的a∝1/m（在任意力作用下） （3）这一客观规律的表示式相混淆，所以有人误解为，牛顿第二定律就是质量的定义或质量的量度方法．

这里首先要弄清楚什么是定义，什么是定律．如前所述，定义和定律是不同性质的判断．定义是给概念规定界限的判断，而定律是几个概念之间彼此的本质联系，它所反映的是客观规律．应当认识到，牛顿第二定律正是这样的客观规律，它所反映的是力、质量和加速度这三者之间的本质联系．它是建立在大量实验事实的基础上并经受了长期实践检验的真理．它和给质量下定义及规定量度方法所涉及问题的性质完全不同，因此从根本上来说决不会是质量的定义．实际上，人们所以能总结出牛顿第二定律，就是因为人们预先就对力、质量和加速度这三个物理量的概念和测量方法已经有所掌握，然后才能通过实验找出它们之间的内在联系．也就是说，质量的概念及测量方法并非来源于第二定律，而是先于这个定律．第二定律建立过程的历史事实正是如此．就象我们在上面所说的那样，早在牛顿第二定律建立之前，人们（包括牛顿）已经用“物质之量”给质量下了定义，并已凭经验知道了通过比较重量来量度质量的方法．

无庸讳言，根据（1）式规定的量度质量的方法，是在已经建立起来的牛顿第二定律的启发下提出的．但这决不表明在这种方法中使用了牛顿第二定律．上述误解的产生可能是因为没能正确理解由（1）式到（3）式的演变过程．用（1）式规定质量，是在一定的力作用下进行的．例如我们可以用一个单位的力分别作用于标准质量与待测质量的两个物体上，然后根据带有人为规定性的（1）式定出待测质量的值．但是若不再用一个单位的力施加在这两个物体上，而是改用其他不同的力作用时，这两个质量现已皆为已知的物体所产生的加速度与它们的质量之间满足什么关系，则不是我们能够“规定”的了，而得看实验事实．所以，用一定的力，根据（1）式所反映的人为规定的质量与加速度成反比的关系来测定质量，只是做为人们规定的一种测量方法．它不能保证当作用力不再是这个指定的力时，这种反比关系仍然成立．只有再经过大量的在不同的力、质量和加速度情况下的实验，才能总结出（3）式所反映出的客观规律，即牛顿第二定律的部分内容．总之，（1）式不是（3）式，用（1）式规定质量并没有应用牛顿第二定律．反过来倒可以说，要建立反映牛顿第二定律部分内容的（3）式，是需要用（1）式所提供的测量质量的方法的（当然，也可以不用这种方法，而采用上述依靠实际经验的力法）．

实际上，对于力的测量也存在类似的问题．如果我们不是使用弹簧秤来测力，而是由力的动力学效应，即产生加速度的能力的大小来测定力，就可选定一个标准物体（例如国际千克原器），并规定此标准物体的加速度与其所受之力成正比，即

F∝a．（对标准物体） （4）

这样，如以二力作用于标准物体，且将其中的一个力F0定为力的单位，则在测出它们所引起的加速度a0和a以后，由根据（4）式得的关系

F/F0=a/a0 （5）

在这里，（6）式才是牛顿第二定律的一部分．并不能说基于（4）式的力的测量方法是第二定律．

总之，通过对这类问题的讨论应该认识到，物质的属性与物体间的相互联系、相互制约的关系是不可分割的．因此，只有在研究物体机械运动状态变化的规律的过程中，才能正确地、科学地建立力与质量的概念．但是，通过规律反映属性，并不因此而抹煞规律的客观性．另外，人对事物的认识过程是复杂的，循环往复的．“力”和“质量”的概念是人们在长期的实践活动中逐渐形成的．运动定律就借助于这些概念建立起来．但同时在运动定律中又使这些概念深刻化、科学化．因此，企图把概念的形成与定律的建立完全割裂开来，甚至对立起来的想法是不必要的，实际上也是不可能的．

引力质量和引力

不过，这里引起了一个值得思索的问题：惯性和引力是完全不同的两种物理属性，但是它们之间既然存在着普遍的、严格的正比关系，是否有可能它们不过是物体同一本质在不同方面的表现呢？这一问题的回答是肯定的．爱因斯坦建立的广义相对论指出，物体的惯性和引力性质产生于同一来源．在广义相对论里，有一些参量一方面表现为物体的惯性，另一方面又自然而然地表现为引力场的源泉．这个结论成功地经受了十分精确的实验检验．这类实验经历了三百年的历史，尚在继续进行中．从牛顿时代的精确度为10^(-3)发展到1922年爱德维斯提高到3×10^(-9)．到1964年狄克把精确度提高到1.3±1.0×10^(-11)．1971年，勃莱根许和佩诺又将实验的精确度提高到10^(-12)数量级．所有这些实验，均证实了m引/m惯=常数．因此，普遍认为物体的两种不同属性——惯性和引力性质，是它的同一本质的不同方面的表现．也就是说，物体的惯性和引力性质导源于物体的同一本质．爱因斯坦就曾把这两种质量的等同作为他建立广义相对论的出发点．故从现代物理学看来，这两者的等同决非偶然，其中包含着深刻的物理意义．