经典力学中，系统的可观测量是
相空间M上的函数f:M→，则在相空间某个区域找到系统的概率，由
概率测度μ给出，则系统处于态μ时，可观测量f的期望值为。
设一个量子系统的
可观测量的集合生成的算子代数A，A是一个
C*代数。A的一个元（可观测量）在态φ的期望值为φ(a)。
给定A的任意元x，都有态ρ满足。而根据
GNS构造，由态ρ可得GNS对(πx,ξx)，取π=⊕xπx，即得A在
希尔伯特空间上的表示。故根据Gelfand-Naimark定理，任何含单位元的C*代数都同构于算子C*代数。该定理也可以推广到不含单位元的情况。