完全解析函数（complete analytic function） 亦称整体解析函数，一类大范围解析函数中一个解析元素的全部解析开拓所确定的函数称为由这个解析元素生成的完全解析函数，它的定义域 G 称为它的存在域，G 的边界称为这个完全解析函数的自然边界，G的边界点就是这个完全解析函数的奇点。一个完全解析函数可能是单值的，也可能是多值的。此外，如果两个完全解析函数至少有一个共同元素，则这两个函数被认为是相等的。

若函数在区域 内解析，且区域 的边界 上每一点都是它的奇点，则它就不能越过区域 的任意一部分边界解析开拓；若在 上有正则点，则此函数就可以越过边界 解析开拓出去。对于开拓后得到的函数及区域，还可以再研究它能否进一步解析开拓，这样就可以不断地解析开拓，一直到不能开拓为止。为了刻画这个事实，需要引进完全解析函数的概念。

设所有标准元素集合由任一元素 P 沿所有若尔当曲线作解析开拓而得到，此曲线起点在元素 P 的圆心，且对此曲线可以作解析开拓，则称这个标准元素集合为完全解析函数。我们指出，完全解析函数的概念不依赖于初始元素 P 的选择。实际上，设 Q 是由初始元素 P 确定的完全解析函数的任一其他元素，这表示 Q 是由 P 沿着某条曲线开拓得出的。于是 P 可以由 Q 沿曲线开拓得出。如果两个完全解析函数至少有一个共同元素，则这两个函数被认为是相等的。

一个完全解析函数 是一个一般解析函数，它包含其任一元素的所有解析开拓， 的定义域 称为它的存在区域， 的边界称为 的自然边界。

定理内容：属于完全解析函数的诸元素收敛圆的并集构成一个区域。

证明：设 D 是这个并集，它作为诸开集的并集是一个开集，即如果 ，则 是某一元素的收敛圆，且 。设 a 与 b 是集 D 的任意两点，则可求出两个元素，使得a 与 b 是它们的圆心。这两个元素是沿某一路线 互为解析开拓而得出的，这条路线是连结点 a 与 b 而成的。显然 ，因此 D 是连通开集，即一个区域，它称为完全解析函数的自然定义域或它的存在域。

我们指出，完全解析函数不能是区域 D 内广义的函数，因为它不是单值的。

定理内容：完全解析函数含有不多于圆心在一定点处的可数多个不同元素。

证明：设完全解析函数由圆心在点 a 处的初始元素 确定，z 是完全解析函数定义域 D 中的任意一点。设 是完全解析函数的一个元素，圆心在点 z 处，它可由元素 用圆心在点 的有限元素链得出，其中每后一个元素都是前一元素的直接解析开拓。不是一般性，可以设诸点 有有理坐标。实际上，首先设圆心 是任意的。在点 的任意小的领域内取一个带有理坐标的点 ，并用元素 代替 ，根据沿路线解析开拓关于路线同伦形变的不变性定理，在 充分小时，按新链开拓的结果和按旧链开拓的结果相同。具有元素 有理圆心的元素 直接解析开拓集合是可数的，恰好与元素 的可数集一样。给定 与点 z 就唯一地确定了元素 ，因此不同元素 的个数不超过可数集。

注意：研究完全解析函数的概念，不一定只利用标准元素，可以取任意元素，把完全解析函数看作是解析元素集合 ，其中 a 取遍某一指标集 ，这时元素中的每一个元素可由任意其他元素解析开拓得出。

完全解析函数定义域的边界点称为它的奇点。

设 是完全解析函数 的一个孤立奇点， 是 定义域 D 内的一个去心邻域。

如果任一属于 的标准元素 在沿着某闭路线 作解析开拓时没有改变，则当若当曲线 与 在 内作解析开拓得出的任一元素 ，在沿任一路线 开拓时没有改变。

注意：由该引理可推出，在 内沿着与 同伦的路线解析开拓不改变元素，这样的路线被收缩为任一元素的圆内路线，沿这些路线的解析开拓不改变元素。

单/多值特征的奇点

设 是完全解析函数 的孤立奇点， 是此点在 定义域内的去心邻域， 是包围点 的闭若当曲线，于是，如果：

（1）沿曲线 绕行将得到初始元素，则 称为单值特征的奇点；

（2）沿 绕行得到不同初始元素的元素，则 称为多值特征的奇点或支点。

n-1阶/无穷阶支点

设 是完全解析函数 的支点， 是包围点 的闭若尔当曲线，于是，如果：

（1）存在这样一个整数 ，使 次同方向绕行 得到初始元素，并且 是具有上述性质的所有整数中的最小值，则 称为 阶支点；

（2）若不存在（1）中所述的整数，即同方向绕行 得出新而又新的元素，则 称为无穷阶阶支点或对数支点。

注意：容易检验，如果把曲线 换为 内与 同伦的任一若尔当曲线 ，则支点的阶数不变。