在
抽象代数中，多项式环推广了初等数学中的
多项式。一个
环 R 上的多项式环是由系数在R 中的多项式构成的
环，其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在
范畴论的语言中，当R 为交换环时，多项式环可以被刻划为交换R-
代数范畴中的
自由对象。
定义
在初等数学与
微积分中，多项式视同多项式函数，两者在一般的域或环上则有区别。举例言之，考虑有限域 上的多项式
此多项式代任何值皆零，故给出零函数，但其形式表法非零。
我们宁愿将多项式看作形式的符号组合，以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质：就函数观点，多项式函数在域扩张下的行为颇复杂，上述 给出 上的零函数，但视为 上的多项式函数则非零；而就形式观点，只须将系数嵌入扩张域即可。
形式定义
于是我们采取下述定义：令R为
环。一个单变元X的多项式P(X)定义为下述形式化的表法：
其中∈R，称作P(X)的系数，而X视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的首项系数。
更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列 ，使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元X及其幂次表达。
多项式的运算
以下固定环 R，我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。
环结构
多项式的加法由系数逐项相加定义，而乘法则由下列法则唯一地确定：
分配律：对所有R上的多项式 ，恒有
对所有 ，有
对所有非负整数 ，有
运算的具体表法如下：
当 R 是交换环时，R[X] 是个 R 上的
代数。
多项式的合成
设 而Q(X) 为另一多项式，则可定义两者的合成为
求值
对于任一多项式 及 ，我们可考虑 P(X) 对r的求值：
固定 ，则得到一个环同态 ，称作求值同态；此外它还满足
导数
在
微积分中，多项式的微分由微分法则 确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性，我们仍然可形式地定义多项式的导数为：
这种导数依然满足 与 等性质。对于系数在域上的多项式，导数也可以判定重根存在与否。
多变元的情形
上述定义可以推广到任意个变元（包括无限个变元）的情形。对于有限变元的多项式环 ，也可以采下述构造：
先考虑两个变元 X,Y 的例子，我们可以先构造多项式环R[X]，其次构造 。可以证明有自然同构 ，例如多项式
也可以视作
对 亦同。超过两个变元的情形可依此类推。
性质
若R是
域，则R[X] 是
主理想环（事实上还是个
欧几里得整环）。
若R是唯一因子分解环，则R[X]亦然。
希尔伯特基定理：若R是
诺特环，则R[X] 亦然。由归纳法可知，对任意正整数n，亦然。
任一个交换环R上的有限生成
代数皆可表成某个 的商环。
数学中的角色
多项式环对
理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系 构造
有限域，或从实数构造
复数等等。
弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环，此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。