均值不等式_数学不等式 - 威林百科weilinceramic.com

均值不等式

数学不等式

均值不等式，又称为平均值不等式、平均不等式，是数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。

定义

被称为均值不等式。即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数，简记为“调几算方”。均值不等式也可以看成是“对于若干个非负实数，它们的算术平均不小于几何平均”的推论。

其中：

，被称为调和平均数。

，被称为几何平均数。

，被称为算术平均数。

，被称为平方平均数。

证明

关于均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法（第一数学归纳法或反向归纳法）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式，在这里简要介绍数学归纳法的证明方法：

（注：在此证明的，是对n维形式的均值不等式的证明方法。）

用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。

引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0或n=1时取等号。

注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。

原题等价于：，当且仅当时取等号。

当n=2时易证；

假设当n=k时命题成立，即，当且仅当时取等号。那么当n=k+1时，不妨设是、......中最大者，则

设，

，根据引理

，当且仅当且时，即时取等号。

利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。

推广

一般形式

设函数；。

是上的连续单调递增函数。时，。

这个结论被称作幂平均不等式

可以注意到，仅是上述不等式的特殊情形。

特例

⑴对实数a，b，有（当且仅当a=b时取“=”号），（当且仅当a=-b时取“=”号）

⑵对非负实数a，b，有，即

⑶对非负实数a，b，有

⑷对实数a，b，有

⑸对非负实数a，b，有

⑹对实数a，b，有

⑺对实数a，b，c，有

⑻对非负数a，b，有

⑼对非负数a，b，c，有

在几个特例中，最著名的当属算术-几何均值不等式（AM-GM不等式）：

当n=2时，上式即：

当且仅当时，等号成立。

根据均值不等式的简化，有一个简单结论，即。

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最新修订时间：2024-10-29 13:42

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