代数是数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设𝖌为李代数，𝖍为𝖌的子代数，n(𝖍)为𝖍的正规化子，若

(1)𝖍为幂零李代数，

(2)𝖍=n(𝖍)，

则称𝖍为𝖌的嘉当子代数。

嘉当子代数为极大幂零子代数。

李代数𝖌的子代数𝖍是嘉当子代数，当且仅当𝖍是极小恩格尔子代数。

任何有限维复李代数均有嘉当子代数。

设G为𝖌的内自同构群，则G在𝖌的嘉当子代数𝖍上的群作用是传递的

对任意两个嘉当子代数h1和h2，必存在𝖌的内自同构σ，使得σ(h1)=h2，即h1和h2是共轭的。在实的情形下，这个性质不成立。当𝖌为有限维实或复半单李代数时，嘉当子代数必为极大交换子代数。

𝖘𝖔3(ℝ)的一维子空间为嘉当子代数。

嘉当子代数(Cartan subalgebra)是研究李代数分解时常用的一类子代数。

数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy +1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体。把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展.

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来。

李代数是一类重要的非结合代数。非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家S.李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S.李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家É.嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，É.嘉当还构造出这些例外代数。É.嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

记L为域F上的线性空间，若L中除了加法和纯量积，还有第三种代数运算：L×L→L，记为[x，y]，对任意x，y∈L，它适合条件：

1.反对称性　[x，x]=0，　x∈L.

2.双线性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L.

3.Jacobi恒等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L.

则[x，y]称为x和y的换位运算，亦称“方括号运算”.这时L称为域F上李代数，简称李代数。当L的维数有限时，称为有限维李代数;当L的维数无限时，称为无限维李代数。例如，若L为域F上的结合代数，满足结合律的乘法，记为ab，a，b∈L，则运算[a，b]=ab-ba， a，b∈L为换位运算.在此运算下，L为李代数。特别地，若L为由所有n×n矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义：

[A，B]=AB-BA

便构成一个n维李代数。

正规化子是刻画群的子集与群的元素可换程度大小的一种概念。设S是群G的一个子集，H是G的一个子群，使得xSx={xsx|x∈S}=S的一切x∈H所构成的集合称为S在H中的正规化子，记为NH(S)，即NH(S)={x∈H|xSx=S}.对所有的s∈S，使得xsx=s的一切x∈H所构成的集合，称为S在H中的中心化子，记为CH(S)，即CH(S)={x∈H|xsx=s，s∈S}.当H=G时，习惯上简称S的正规化子和中心化子。G在G中的中心化子称为G的中心，记为Z(G)或C(G)。阿贝尔群的中心为其自身，反之亦对，即若Z(G)=G，则G为阿贝尔群。

嘉当是法国数学家。生于法国南锡，1923年入巴黎高等师范学校学习，1926年大学毕业，1928年获博士学位.1929—1931年，任里尔大学讲师;1931—1940年，任斯特拉斯堡大学教授；1940—1969年，任巴黎大学教授;1969—1975年，任南巴黎大学教授。1967—1970年，任国际数学联盟主席。1965年，被选为法国科学院通讯院士，1974年成为院士。1971年，被选为伦敦皇家学会外籍会员，1972年，被选为美国全国科学院外籍院士.此外，他还是日本、波兰、马德里及北欧国家等近10家科学院、皇家科学院的院士或荣誉院士。

嘉当是法国布尔巴基学派的创始人之一。在复变函数、代数拓扑、位势理论及同调代数等方面都做出了重要贡献.他在复变函数论从单变量向多变量发展的过程中起了重要作用。他在20世纪30年代给出了全纯自同构的惟一性定理、有界域全纯自同构群的李群性质。1932年，他还证明了全纯域与全纯凸域的等价性的嘉当-苏伦定理.他在1944年关于解析函数的理想的研究中得到的成果，同日本冈洁关于具有不定域的理想的研究，发展成了解析凝聚层理论。20世纪50年代初，他和塞尔(Serre，J.P.)在对施泰因流形的研究中引入了层系数的上同调理论，给出了多复变函数论中的嘉当定理，即施泰因流形上的凝聚解析层上的定理A和B.在第二次世界大战后的15年内，他领导的著名的嘉当讨论班，对代数拓扑的发展起了重要的促进作用。在讨论班上引入的新方法，形成了同调代数的基础.1954年，他和塞尔曾在上同调运算方面取得了重要成果.此外，他还引入了“滤子”等概念。他是法国第三级荣誉勋位的获得者。1980年还获沃尔夫数学奖.著作有《同调代数》(1956;与艾伦伯格(Eilenberg，S.)合著)等.他的主要论著均收入了三卷本的《嘉当文集》(1979)中。