数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

数学的一个分支。传统的代数用有字符 (变量) 的表达式进行算术运算，字符代表未知数或未定数。如果不包括除法 (用整数除除外)，则每一个表达式都是一个含有理系数的多项式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一个代数方程式 (参见EQUATION)是通过使多项式等于零来表示对变量所加的条件。如果只有一个变量，那么满足这一方程式的将是一定数量的实数或复数——它的根。一个代数数是某一方程式的根。代数数的理论——伽罗瓦理论是数学中最令人满意的分支之一。建立这个理论的伽罗瓦(Evariste Galois，1811-32)在21岁时死于决斗中。他证明了不可能有解五次方程的代数公式。用他的方法也证明了用直尺和圆规不能解决某些著名的几何问题(立方加倍，三等分一个角)。多于一个变量的代数方程理论属于代数几何学，抽象代数学处理广义的数学结构，它们与算术运算有类似之处。参见，如： 布尔代数(BOOLEAN ALGEBRA);群 (GRO-UPS);矩阵(MATRICES);四元数(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。这些结构以公理 (见公理法 AXIOMATICMETHOD) 为特征。特别重要的是结合律和交换律。代数方法使问题的求解简化为符号表达式的操作，已渗入数学的各分支。

设K为一交换体. 把K上的向量空间E叫做K上的代数，或叫K-代数，如果赋以从E×E到E中的双线性映射.换言之，赋以集合E由如下三个给定的法则所定义的代数结构：

——记为加法的合成法则(x，y)↦x+y;

——记为乘法的第二个合成法则(x，y)↦xy;

——记为乘法的从K×E到E中的映射(α，x)↦αx，这是一个作用法则;

这三个法则满足下列条件：

a) 赋以第一个和第三个法则，E则为K上的一个向量空间;

b) 对E的元素的任意三元组(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)对K的任一元素偶(α，β)及对E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

设A为一非空集合. 赋予从A到K中的全体映射之集ℱ(A，K)以如下三个法则：

则ℱ(A， K)是K上的代数， 自然地被称为从A到K中的映射代数.当A=N时， 代数ℱ(A，K)叫做K的元素序列代数.

无论是在代数还是在分析中，代数结构都是最常见到的结构之一。十九世纪前半叶末，随着哈密顿四元数理论的建立，非交换代数的研究已经开始. 在十九世纪下半叶，随着M.S.李的工作，非结合代数出现了. 到二十世纪初，由于放弃实数体或复数体作为算子域的限制，代数得到了重大扩展.

与外代数，对称代数，张量代数，克利福德代数等一起，代数结构在多重线性代数中也建立了起来.

对称代数是概括多元多项式代数的一种代数。设E是特征为0的域K上的向量空间， 是E的p次对称幂，约定 ， ，记：

是 的直和，∨E对乘法：

构成一个K上的交换的结合代数，称为E上的对称代数。1是∨E的单位元且∨E由{E，1}生成.设u∈∨E，若：

则：

对任意u，v∈∨E。E上的对称代数在同构的意义下是惟一的。若dim E=n，则∨E的庞加莱级数。K上的n元多项式的代数K[x1，x2，…，xn]就是一种对称代数。

类似于环、域，而更接近于环的一个代数系.设A是一个结合环，若A又是域F上向量空间，且对任意元素a，b∈A，λ∈F，适合λ(ab)=(λa)b=a(λb)，则称A是F上结合代数，简称F代数.称F上向量空间A的维数为代数A的维数，记为dimA.一般地，若结合环A又是左R模，其中R是有单位元1的交换环，且对任意a∈A，λ∈R，适合

1·a=a，λ(ab)=(λa)b=a(λb)，

则称A是R上代数.通常假定一个R代数有单位元.

结合代数研究的中心问题是刻画各类代数的结构，它是从19世纪50年代哈密顿(Hamilton，W.R.)引入实域上四元数(1843年)、格拉斯曼(Grassmann，H.G.)引入向量乘法以及凯莱(Cayley，A.)等人讨论矩阵代数开始的.到20世纪初，韦德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)开创了有限维代数发展的新阶段，他的半单代数结构理论对代数的发展起了推动作用，使有限维代数的研究基本上归结为幂零代数与可除代数的研究，进而得出半单代数较完整的表示理论.阿尔贝特(Albert，A.A.)的《代数结构》一书(1939年)是对经典代数的很好的总结.非半单代数结构的研究则较为复杂，因此划分成一些自然的代数类并对它们进行描述就成了占主要地位的工作.克德(Ko¨the，G.)、中山正(Nakayama，T.)、浅野启三(Asano，K.)等人刻画了主理想代数、弗罗贝尼乌斯代数以及它们的推广.近年来，开始用模论的方法研究代数结构，产生了代数表示论(参见“代数表示论”).

由于R上代数A与环的概念仅多一个R×A到A的乘法运算，因此，子代数、单侧理想、理想、商代数、幂零和幂零理想、同构及同态等概念仅比环中相应概念多一个与R中元相乘封闭的性质，不再重复它们的定义.

左对称代数（或Vinberg代数，Koszul代数，拟结合代数等）是一类重要的非结合代数。它在数学和数学物理中起重要作用。它的研究可以直接促进其它相关领域的研究，如李群，李代数，非交换几何,量子场，可积系统，微分几何等。左对称代数在各个领域的广泛应用吸引了许多学者的注意，比如数学大师如以及菲尔兹奖获得者Zelmanov Connes,Novikov等。

左对称代数出现的比较早，最早是在1896年Cayley研究根树代数时提出的，但直到1960年才重新引起人们的注意，此时Vinberg应用左对称代数分类凸齐次锥，Milnor和Auslander将仿射平坦流形与左对称代数联系起来。之后就陆陆续续的出现了与左对称代数相关的很多不同领域的文章，左对称代数得到了越来越多的人的重视,也取得了一些成果。比如说Kreimer和Kontsevich将左对称代数与数学物理中的量子场理论以及重正化理论联系起来，还有和Bakalov和Kac在顶点代数的研究中也应用到有关左对称代数的理论。

设G是一个连通的，单连通的李群，在G的切丛T(G)=g中按通常的括积，则g成为李代数，这就是李群的李代数。除此之外，联络还与李代数中的另一个运算有关，由其我们引出左对称代数的概念。

M是一个流形， 为其上所有的可微向量场的李代数。

仿射联络是无扭的，如果：

仿射联络是平坦的，如果：

这样一个平坦的无扭的仿射联络确定了下面的共变微分：

如果我们在 定义 ，则（1）（2）分别等价于下列等式：

运算·满足 ，称满足这种条件的代数为左对称代数，从而 是一个左对称代数。