已给Rn中一流形M(p维，Ck类)，可用开集Vi (空间M中的开集)的覆盖拓扑空间M；对于每个Vi，存在着一个像是Vi的参变量表示：fi：Ωi→- Vi。fi 的选取使M 在Vi所有点定向，如果对于任何一对(i，j)，fi及fj在Vi∩Vj中每点确定M 的同一定向，那么就说这些fi确定M 的一个定向。如果可找到一些局部参变量表示fi确定M的一个定向(如上所述)，就说M是可定向的，一个流形M，即令是连通的，并不总是可定向的：“默比乌斯带”提供了不可定向曲面的一个例子。

拓扑流形的定向(orientation of topological manifold)是指确定流形指向的方式问题，有多种等价的方式来定义流形的定向，这里介绍比较基本的两种，设M为n维拓扑流形，由定义可知存在M的一个开覆盖使得对于每个有同胚(或)，于是当时，

是(或)的开子集之间的同胚。若在M上可选取与使得当时，总是保向同胚，则称M为可定向流形；否则，称为不可定向流形。

设为单位区间，为流形M的一条道路，选取的一个分割使得某，现在通过选取的序向，使得在和上，它们有一致的序向，则当a为环道时，有的邻域到的邻域的一个同胚h，若h为保向同胚，则称a为保向的；否则称a为逆向的，于是M可定向的等价说法是：M上的任意环道都是保向环道。由于具有相同基点的同伦环道有相同的保向性，所以单连通流形必定可定向，因此n维球面S当n≥2时可定向(当然圆周S也可定向)。另一方面，如图1所示，默比乌斯带的腰圆是一条逆向曲线，从而默比乌斯带不可定向，因此一切包含默比乌斯带的曲面均不可定向，所以2维实射影平面、克莱因瓶等均为不可定向的闭曲面(2维流形)。

命题1 在连通的定向流形上存在两个不同的定向，并且任何图给出与M的定向中的一个相同的局部定向。

定理1 如果带边流形M是可定向的，那么边界也是可定向的流形。

定义 设M是带边的定向流形，是给出M定向的图册。的定向由图册给出的的定向称为与M的定向是协调的。

引理1同胚于圆盘与Mf；bius带沿公共边界的粘合。

引理2Klein 瓶同胚于粘合了两个带的球面。

定理2(分类定理)任何光滑、紧致、连通、闭、二维流形或同胚于有k 个柄的球面，或同胚于有s 个膜的球面。

引理3任何二维、光滑、紧致、连通、闭的M2允许有限的三角剖分。

引理4词W可以(借助于M2的同胚)改造成多边形W的所有顶点粘合到一个点。

引理5设则存在M2的同胚，把W变换为词。

引理6 如果则存在M2的同胚，使W转变为。

引理7 如果则存在M2的同胚，把W 变换为。

引理8 如果W(在W 上完成了上述的操作) 含有一对字母和的边：而且则存在一对边，使其中即对任何一对边和(这里)，存在与它相“衔接”的一对边。

引理9 如果则存在的同胚，把W变成。