流形是一类特殊的连通、豪斯多夫仿紧的拓扑空间，在此空间每一点的邻近预先建立了坐标系，使得任何两个(局部)坐标系间的坐标变换都是连续的。n维流形的概念在18世纪法国数学家
拉格朗日的力学研究中已有萌芽。19世纪中叶英国数学家凯莱(1843)、德国数学家格拉斯曼(1844，1861)、瑞士数学家
施勒夫利(1852)分别论述了n维欧几里得空间理论，把它视为n个实变量的连续统。1854年德国数学家黎曼在研究微分几何时用归纳构造法给出一般n维流形的概念：n维流形是把无限多个(n-1)维流形按照一维流形方式放在一起而形成的，从此开始流形的拓扑结构及其局部理论的研究。法国数学家庞加莱在19世纪末把n维流形定义为一种连通的拓扑空间，其中每一点都具有和n维欧氏空间同胚的邻域(被称为庞加莱流形)，从而开辟了组合拓扑学的道路。
对流形的深入研究集中在流形上的微分结构与组合结构的存在性、唯一性问题，微分结构与组合结构的关系，流形的各种意义下的分类等问题，20世纪50—60年代做出许多重要结果，近几十年来出现有限维带边流形和无限维流形概念。流形理论在与其他拓扑理论的相互结合发展中也提出许多问题，其研究仍在继续。
拓扑流形是一类特殊的流形。它是一种特定的
豪斯多夫空间。在n维欧氏空间R中，由xn≥0定义的半空间记为R+。一个豪斯多夫空间M，当其中每点p有同胚于R或R+的开邻域U(p)时，则称M为n维拓扑流形。设R+为R+的边界，当φp：U(p)R+时，φp(R+)中的点称为M的边界点。由内点不变性(布劳威尔区域不变定理)可知边界点的定义与φP的选取无关，记M的全体边界点之集为M，称为流形M的边界，补集IntM=M-M称为M的内部。M=的流形M称无边流形，否则称为带边流形。n维流形M的边界M是n-1维无边流形。紧致无边流形称为闭流形，非紧致无边流形称为开流形。存在连通但非仿紧的拓扑流形，1维这种流形称为长直线，这种流形都不常见且具有较奇异的性质，下面讨论均假定为仿紧豪斯多夫的，并且具有可数基，因而是
度量空间。
欧几里得空间的一种推广。给定任意一个集，在它的每一个点赋予一种确定的邻域结构便构成一个拓扑空间。拓扑空间是一种抽象空间，这种抽象空间最早由法国数学家弗雷歇于1906年开始研究。1913年他考虑用邻域定义空间，1914年德国数学家豪斯多夫给出正式定义。豪斯多夫把拓扑空间定义为一个集合，并使用了“邻域”概念，根据这一概念建立了抽象空间的完整理论，后人称他建立的这种拓扑空间为豪斯多夫空间(即现在的T2拓扑空间)。同时期的匈牙利数学家里斯还从导集出发定义了拓扑空间。20世纪20年代，原苏联莫斯科学派的数学家П.С.亚里山德罗夫与乌雷松等人对紧与列紧空间理论进行了系统研究，并在距离化问题上有重要贡献。1930年该学派的吉洪诺夫证明了
紧空间的积空间的紧性，他还引进了拓扑空间的无穷乘积(吉洪诺夫乘积)和完全正规空间(
吉洪诺夫空间)的概念。
20世纪30年代后，法国数学家又在拓扑空间方面做出新贡献。1937年
布尔巴基学派的主要成员H.嘉当引入“滤子”、“超滤”等重要概念，使得“收敛”的更本质的属性显示出来。韦伊提出一致性结构的概念，推广了距离空间，还于1940年出版了《拓扑群的积分及其应用》一书。1944年迪厄多内引进双紧致空间，提出仿紧空间是紧空间的一种推广。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的学生们进行了完整的研究。布尔巴基学派的《一般拓扑学》亦对拓扑空间理论进行了补充和总结。
此外，美国数学家
斯通研究了剖分空间的可度量性，1948年证明了度量空间是仿紧的等结果。捷克数学家切赫建立起紧致空间的包络理论，为一般拓扑学提供了有力工具。他的著作《拓扑空间论》于1960年出版。近几十年来拓扑空间理论仍在继续发展，不断取得新的成果。