满足
乘法交换律的方阵称为可交换矩阵，即矩阵A，B满足：A·B=B·A。
高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵。
定义
满足
乘法交换律的方阵称为可交换矩阵,即矩阵A，B满足：A·B=B·A。
高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质。下面所说的的矩阵均指n 阶实方阵。
具备条件
定理1
(1) 设A , B 至少有一个为
零矩阵,则A , B 可交换;
(2) 设A , B 至少有一个为
单位矩阵, 则A , B可交换;
(3) 设A , B 至少有一个为
数量矩阵, 则A , B可交换;
(4) 设A , B 均为
对角矩阵,则A , B 可交换;
(5) 设A , B 均为
准对角矩阵（准对角矩阵是
分块矩阵概念下的一种矩阵。即除去
主对角线上分块矩阵不为零矩阵外，其余分块矩阵均为零矩阵）,且
对角线上的子块均可交换，则A , B 可交换;
(6) 设A*是A 的
伴随矩阵,则A*与A可交换;
注：A的逆矩阵经过
数乘变换所得到的矩阵也可以与A进行交换。
(8) （n=0,1..., ）可与(m=0,1..., )交换.这一点由矩阵乘法的
结合律证明。
（9）设A可逆，则（A－E）的逆矩阵与A 可交换
定理2
(1) 设AB =αA +βB ,其中α,β为非零实数,则A , B 可交换;
(2) 设A m +αAB = E ,其中m 为正整数,α为非零实数,则A , B 可交换.
定理3
(1) 设A 可逆,若AB = O 或A = AB或A = BA ,则A , B 可交换;
(2) 设A , B 均可逆, 若对任意实数k , 均有A = ( A - k·E) B ,则A , B 可交换.
充要条件
定理4
(1) A2 - B2 = ( A + B) ( A - B) =( A - B) ( A + B)
(2) ( A ±B) 2 = A 2 ±2 AB + B2 ;
(3) ( AB)T= ATBT;
特别地，当阶A,B都是2阶方阵，或者A,B都可逆
n阶方阵，下面也是充要条件
(4) ( AB)*= A*B*
定理5
定理6
(1) 设A , B 均为(反)
对称矩阵, 则A , B 可交换的充要条件是AB 为对称矩阵;
(2) 设A , B 有一为对称矩阵,另一为
反对称矩阵,则A , B 可交换的充要条件是AB 为反对称矩阵.
性质
性质1
设A , B 可交换,则有:
(1) A·B = B ·A , ( AB) = A B, 其中m , k 都是
正整数;
(2) A f ( B) = f ( B ) A ,其中f ( B ) 是B 的
多项式,即A 与B 的多项式可交换;
(3) A - B = ( A - B ) ( A + A B …+B ) = ( A + A B + …+ B) ( A - B)
(4) ( A + B )^m =(矩阵
二项式定理)
性质2
设A , B 可交换,
(1) 若A , B 均为
对合矩阵,则AB 也为对合矩阵;
(2) 若A , B 均为
幂等矩阵, 则AB , A + B -AB 也为幂等矩阵;
(3) 若A , B 均为
幂幺矩阵,则AB 也为幂幺矩阵;
(4) 若A , B 均为
幂零矩阵,则AB , A + B 均为幂零矩阵.
性质3
若A,B可交换，则A，B可同时上三角化。