设A为n阶方阵，I为n阶单位阵，则满足A2=I的方阵A称为对合矩阵。满足A2=A的方阵A称为幂等矩阵。对于幂等矩阵和对合矩阵，有如下定理：(1)A为对合矩阵的充分必要条件是(I-A )(I+A)=0；(2)若A、B都是对合矩阵，则AB为对合矩阵的充分必要条件是AB=BA；(3)若A、B都是幂等矩阵，则A+B为幂等矩阵的充分必要条件是AB=-BA。

矩阵称为对合矩阵(involutory matrix)，如果

其中为单位矩阵。

若是n阶方阵，那么是对合矩阵的充分必要条件是是幂等矩阵；对合矩阵一定相似于对角阵

其中；若是对合矩阵，那么必有

定理1 设是对合矩阵，则

(1)当n=2时，A形如

或者

或.

(2)是等幂矩阵。

定义 称为共轭对合矩阵(coninvolutory matrix)或圆矩阵(circular matrix)，如果

定理2为共轭对合矩阵的充分必要条件是存在，使得

定理3设，下列条件等价：

(1) ，即E是共轭对合矩阵；

(2)；

(3) 是共轭对合矩阵。

定理4 设是非奇异矩阵，则

(1)存在共轭对合矩阵和非奇异矩阵，使得

而且E是的多项式。

(2)如果，其中满足，是非奇异矩阵，那么

而且，若R和E可交换，则A和可交换(即是实的)；反之，若A和可交换，E是的多项式，则R和E可交换。

定理5 设，存在和共轭对合矩阵使得

的充分必要条件是非奇异矩阵使得