幂零矩阵_线性代数术语 - 威林百科weilinceramic.com

幂零矩阵

线性代数术语

在线性代数中，对于n阶方阵N，存在正整数k，使得N^k=0，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，Lj = 0），L^k= 0。

简介

在线性代数中，对于的方阵N，存在正整数k，使得，这样的方阵N就叫做幂零矩阵。满足条件的最小的正整数k被称为N的度数或指数。更一般来说，零权变换是向量空间的线性变换L，使得对于一些正整数k（并且因此，对于所有j≥k，L^j = 0），。

幂零矩阵是幂零元──一个更加一般的概念的特殊情况，不仅可以应用于矩阵和线性变换，也可以应用于环的元素。

性质

对于具有实（或复）元素的n×n个方阵N，以下是等价的：

（1）N是幂零矩阵。

（2）对于一些正整数k≤n，N的最小多项式为。

（3）N的特征多项式为。

（4）N的唯一特征值为0。

（5）对于所有k> 0，tr（）= 0。

最后一个定理适用于特征值为0或特征值足够大的矩阵。（参考牛顿的证实）

这个定理有几个结论，包括：

（1）n×n幂零矩阵的度数总是小于或等于n。

（2）幂零矩阵不是可逆矩阵的。

（3）唯一幂零且可对角化的矩阵是零矩阵。

（4）若M为实对称矩阵，则M=0。

（5）非零的幂零矩阵A不能对角化。

（6）若A为n阶幂零矩阵，则，均为幂零阵。

举例

矩阵M=是幂零矩阵，因为。

更一般地说，主对角线均为0的任何三角矩阵均为幂零矩阵，指数。例如，矩阵

是幂零矩阵，因为。

虽然上面的例子中的矩阵有大量的0元素，但是一个典型的幂零矩阵可能没有0元素。例如，矩阵

，尽管矩阵没有零项，但是其幂次方为零矩阵，因此该矩阵为幂零矩阵。

分类

考虑n×n阶移位矩阵：

该矩阵沿着超对角线有若干个元素1，其他地方均为元素0。作为线性变换，移位矩阵将矢量的分量向左移动一个位置，零出现在最后位置：。

该矩阵是度为n，并且是“规范””的幂零矩阵。

具体地说，如果N是任何非零矩阵，则N与下面形式的分块对角矩阵相似。

其中块S1，S2，...，Sr中的每一个是移位矩阵（可能具有不同大小）。这种形式是规范幂零矩阵形式的特殊情况。

附加属性

如果N是幂零矩阵，则I + N是可逆的，其中I是n×n个单位矩阵。逆矩阵如下，

其中有限条件为总和是非零的。

如果N是幂零矩阵，，其中I表示n×n单位矩阵。相反，如果存在矩阵A，若等式对于t的所有值均成立，则A是幂零矩阵。

每个奇异矩阵都可以写成一个幂零矩阵的乘积。

幂零矩阵是收敛矩阵的一种特殊情况。

参考资料

最新修订时间：2024-06-19 16:08

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简介

性质

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