几何三大问题(Three major geometric problems)是指二千四百多年前,
古希腊几何学家提出的
尺规作图问题(ruler-and-compass construction),即只使用
圆规和
直尺,并且只准许使用有限次,来解决不同的
平面几何作图题。几何三大问题即为
三等分角问题、
化圆为方问题和
倍立方问题。
几何三大问题(Three major geometric problems),亦称
尺规作图问题,源于
古希腊是几何学中的著名问题,主要包括尺规作图三大问题:
这三个问题吸引了历代许多学者进行研究,长期未能解决,被称为几何三大问题。直至1837年,Wantzel用代数方法首先证明了(1)、(2)两个问题均属
尺规作图不能问题。1882年,林德曼(Lindemann)证明了第三个问题也属于
尺规作图不能问题.1895年,克莱因(Klein, (C. )F.)总结了前人的研究,著有《几何三大问题》一书,给出三大问题不可能用尺规来作图的简明证法,彻底解决了两千多年的悬案。如果不限制作图工具,几何三大问题根本就不是什么难题,而且早已解决。公元前5世纪,雅典的智人学派以上述三大问题为中心开展研究,正因为问题不能用尺规来解决,常常使人进人新的领域中去,促进了数学的发展.如激发了
圆锥曲线、
割圆曲线以及三、四次
代数曲线的出现。
三等分角问题的完整叙述为:在只用
圆规及一把没有刻度的直尺将一个给定角三等分。在
尺规作图(指用没有刻度的直尺和圆规作图)的前提下,此题无解。若将条件放宽,例如允许使用有刻度的直尺,或者可以配合其他曲线使用,可以将一给定角分为三等分。
立方倍积问题(problem of duplication of a cube)亦称
倍立方体问题、德里安问题、Delos问题、德洛斯问题 、第罗斯问题等,是几何三大问题之一。假设已知立方体的棱长为,所求立方体的棱长为,则,令,有。可以证明,若此方程有有理根,不外乎±1,±2,但它们都不是方程的根,因而不存在有理根,根据“有理系数的三次方程若无有理根,则长度等于它的任何实根的线段不能仅用尺规作图”的定理,立方倍积属
尺规作图不能问题。
化圆为方问题(problem of quadrature of circle),也称圆积问题,由
古希腊著名学者阿纳克萨戈勒斯提出的,但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解决自己提出的问题。该问题为求作一个正方形,使其面积等于已知圆的面积,其难度在于作图使用工具的限制。若不受标尺的限制,化圆为方问题并非难事,欧洲
文艺复兴时代的大师,意大利数学家
达芬奇(1452-1519)用已知圆为底,圆半径的为高的圆柱,在平面上滚动一周,所得的矩形,其面积恰为圆的面积,所得矩形的面积为,,然后再将矩形化为等积的
正方形即可。
虽然三大几何作图难题都被证明是不可能由
尺规作图的方式做到的,但是为了解决这些问题,数学家们进行了前赴后继的探索,最后得到了不少新的成果,发现了许多新的方法。同时,它反映了数学作为一门科学,它是一片浩瀚深邃的海洋,仍有许多未知的谜底等待这我们去发现。