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双阶乘

数学术语

双阶乘是一个数学概念，用n!!表示。正整数的双阶乘表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积。前10个自然数（从0到9）的双阶乘分别为：1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945。

双阶乘的定义

双阶乘的定义为:

当为偶数时,它的双阶乘为:

而当为奇数时, 它的双阶乘则为:

一些示例：

我们定义。

注意: 不要将双阶乘()与阶乘的阶乘()搞混。

如，但。

当是负奇数时，根据递推公式，可知的绝对值等于绝对值小于它的绝对值的所有负奇数的绝对值积的倒数，且正负交替出现。如：

在书写负数的双阶乘时，要把负数应带上括号以避免歧义。

一些示例：

另有。

当n是负偶数时，由递推公式可知没有意义，所以负偶数没有双阶乘。

恒等式

2. 对于任意整数，有

实数域上

当把双阶乘的定义域扩展到实数域的时候，双阶乘的定理则变为：

其中的定义参见伽玛函数。

在此定义下，奇数的双阶乘值没有改变，而偶数的双阶乘值在原定义上除以，第二条恒等式依然成立。

通常情况下，在计算机中实数的双阶乘由下列公式给出：

在此定义下，两条恒等式依然成立。

积分恒等式

第二种定义下的双阶乘满足恒等式（n为偶数时）：

以及

部分数值

参考资料

最新修订时间：2024-07-11 11:52

条目作者

概述

双阶乘的定义

恒等式

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