勒贝格积分，是现代数学中的一个积分概念，它将积分运算扩展到任何测度空间中。在最简单的情况下，对一个非负值的函数的积分可以看作是求其函数图像与轴之间的面积。勒贝格积分则将积分运算扩展到其它函数，并且也扩展了可以进行积分运算的函数的范围。

勒贝格积分与实变函数论。

集合论的观点在20世纪初首先引起积分学的变革，从而导致了实变函数论的建立。

1854年黎曼（德，1826－1866年）定义了黎曼积分，19世纪末，分析的严格化迫使许多数学家认真考虑所谓“病态函数”，特别是不连续函数、不可微函数的积分问题，如，积分的概念可以怎样推广到更广泛的函数类上？1898年波莱尔（法，1871－1956年）的测度论（1925年曾任法国海军部长），1902年勒贝格（法，1875－1941年）的博士论文《积分，长度与面积》建立了测度论和积分论，使一些原先在黎曼意义下不可积的函数按勒贝格的意义变得可积了，可以重建微积分基本定理，从而形成一门新的学科：实变函数论。成为分析的“分水岭”，人们常把勒贝格以前的分析学称为经典分析，而把以由勒贝格积分引出的实变函数论为基础而开拓出来的分析学称为现代分析。

黎曼积分的重要推广，分析数学中普遍使用的重要工具。

19世纪的微积分学中已经有了许多直观而有用的积分，例如黎曼积分（简称R积分）、黎曼-斯蒂尔杰斯积分（简称R-S积分）等。只要相应的函数性质良好，用这些积分来计算曲边形面积、物体重心、物理学上的功、能等，是很方便的。然而，随着认识的深入，人们愈来愈经常地需要处理复杂的函数，例如，由一列性质良好的函数组成级数所定义出来的函数，两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等。在讨论它们的可积性、连续性、可微性时，经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题。

通常只有在很强的假设下才能对这问题作出肯定的回答。因此，在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分，它既能保持R积分的几何直观和计算上的有效，又能在积分与极限交换顺序的条件上有较大的改善。1902年法国数学家H.L.勒贝格出色地完成了这一工作，建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论，接着又综合R-S积分思想产生了勒贝格-斯蒂尔杰斯积分（简称l－S积分）。20世纪初又发展成建立在一般集合上的测度和积分的理论，简称测度论。

在闭区间a和b之间对函数f的积分可以被看作是求f的函数图像下的面积。对于多项式这样比较常见的函数来说这个定义简而易懂。但是对于更加稀奇古怪的函数来说它是什么意思呢？广义地来说，对于什么样的函数“函数图像下的面积”这个概念有意义？这个问题的答案具有很大的理论性和实际性意义。

19世纪里在数学中有把整个数学理论放到一个更加坚固的基础上的趋势。在这个过程中数学家也试图给积分计算提供一个稳固的定义。波恩哈德·黎曼提出的黎曼积分成功地为积分运算提供了一个这样的基础。黎曼积分的出发点是构造一系列容易计算的面积，这些面积最后收敛于给定的函数的积分。这个定义很成功，为许多其它问题提供了有用的答案。

但是在求函数序列的极限的时候黎曼积分的效果不良，这使得这些极限过程难以分析。而这个分析比如在研究傅里叶级数、傅里叶变换和其它问题时却是极其重要的。勒贝格积分能够更好地描述在什么情况下积分有极限。勒贝格积分所构造出的容易计算的面积与黎曼积分所构造的不同，这是勒贝格积分更加成功的主要原因。勒贝格的定义也使得数学家能够计算更多种类的函数的积分。比如输入值为无理数时函数值为0，输入值为有理数时函数值为1的狄利克雷函数没有黎曼积分，但是有勒贝格积分。

以下的介绍是遵循最常见的勒贝格积分的介绍进行的。在这个介绍中积分理论分两部分：

最初测度理论是用来对欧几里得空间中直线的长度，以及更广义地，欧几里得空间的子集的面积和体积进行仔细分析发展出来的。它尤其可以为R的哪些子集拥有长度这个问题提供一个系统性的回答。后来发展的集合论证明，实际上不可能为 R的所有子集都分配一个长度，且保持天然的可加性和平移不变的性质。因此给出一个合适的，可测量的子集类是一个关键的前提。

当然，黎曼积分隐含了长度的概念。事实上计算黎曼积分的元素是[a,b]×[c,d]所组成的长方形，它的面积为(b−a)(d−c)。b−a是这个长方形的宽度，而d−c则是其高度。黎曼只能用平面的长方形来估算曲线下的面积，因为当时还没有其它适当的理论来测量更一般的集合。

在大多数现代的教科书中测度和积分都是公理性的。也就是说测度是一个定义在集合 E的某些子集组成的集合X上的函数μ，这些子集必须拥有一定的特征。在许多不同的情况下这些特征成立。

从一个测度空间(E,X,μ)出发，E是一个集合，X是由 E的子集构成的σ代数，μ是定义在X上的测度。

比如 E可以是一个n维欧几里得空间R或者它的一个勒贝格可测子集。则X是所有E的勒贝格可测子集构成的σ代数，μ则是勒贝格测度。在讨论概率论时，μ是概率空间E中的概率测度，满足μ( E)=1。

在勒贝格理论中只有对所谓的可测函数才能够进行积分。一个函数f被称为是可测的，假如每个区间 的的原像是 E中的可测集合，也就是：

。

可以证明，这与要求R中每个博雷尔子集的原像属于X的条件是等价的。我们从直接使用第二个条件。可测函数的集合在函数的代数运算下是封闭的，更重要的是在多种逐点序列极限下它们是封闭的：

是可测的，假如原序列 是由可测函数组成的，其中 N。

我们对E上的可测实数值函数 f积分

分步进行构造：

指示函数：与给定的测度μ一致的可测集合 S的指示函数的积分唯一可选择的值为：

简单函数：通过对指示函数进行有限线性组合：

这里系数 是实数，集合 是可测集。这样的函数称为可测简单函数。我们用线性性质将积分延拓到非负的可测简单函数上。当 非负时，令

在这里和可能是无限的。一个简单函数可以通过不同方法的指示函数线性组合形成，但是其积分始终是一致的，这一点可由测度的可加性证明。

假如E是一个可测集合，s是一个可测简单函数的话则

非负函数： f为 E中的一个非负可测函数，其值可以达到+∞，即 f可以在扩展的实数轴上取任何非负值。我们定义

，其中s是非负的简单函数， 示零函数，这里的大小关系是对定义域的每个点都成立。

我们必须证明这个积分与上面定义在简单函数集合上的积分相符。此外还有这个积分定义是否与黎曼积分的概念有对应关系的问题。事实上可以证明这两个问题的答案都是肯定的。

这样我们定义了E中所有非负扩展实值可测的函数f的积分。要注意的是这里定义的函数积分可以是无限大。

带负数值的函数：为了解决有负数值的函数，我们还需要添加几个定义。假设f是可将可测集合E映射到一个实数（包括±∞）的函数的话，则有

其中

请注意 和 都是非负函数。此外

黎曼积分（蓝色）和勒贝格积分（红色）

要直观地解释两种积分的原理，可以假设我们要计算一座山在海平面以上的体积。

黎曼积分是相当于把山分为每块都是一平方米大的方块，测量每个方块正中的山的高度。每个方块的体积约为1x1x高度，因此山的总体积为所有高度的和。

勒贝格积分则是为山画一张等高线图，每根等高线之间的高度差为一米。每根等高线内含有的岩石土壤的体积约等于该等高线圈起来的面积乘以其厚度。因此总体积等于所有等高线内面积的和。

佛兰德（Folland）总结说，黎曼积分是把分割定义域[a,b]为较小子区间，而勒贝格积分则是分割 f的值域，或者以 这例子来讲，黎曼积分是分割 x-轴上的定义域[a,b]，而勒贝格积分是分割 y-轴上的值域。

有理数的指示函数 是一个无处连续的函数。

在区间[0,1]之间 没有黎曼积分，因为在实数中有理数和无理数都是稠密的，因此不管怎样把[0,1]分成子区间，每一个子区间里面总是至少会有一个有理数和一个无理数，因此其达布积分的上限为1，而下限为0。

在区间[0,1]内 有勒贝格积分。事实上它等于有理数的指示函数，因为 是可数集，因此

关于勒贝格测度的积分也可以不通过使用整个测度理论引导出来。一个这样的方法是使用丹尼尔积分。

使用泛函分析的方法也可以发展出积分的理论。任何定义在 （或一个固定的开子集）上的紧支撑连续函数 f都有黎曼积分。从这些积分开始，我们可以建立更一般的函数的积分。设 为上所有实数值紧支撑连续函数所构成的空间。定义 的范数为

这样一来 是一个赋范向量空间（特别地，它是一个度量空间）。所有的度量空间都有豪斯多夫完备性，因此令 为其完备空间。这个空间与勒贝格可积分函数余积分为零的子空间同构。而且黎曼积分∫关于 上的范数是一致连续的泛函，而 在 是稠密的。因此∫是所有 唯一的延伸。这个积分正好就是勒贝格积分。

这个结果可以被广泛化来建立关于局部紧空间的拉东测度的积分理论。2004年尼古拉·布尔巴基就是使用了这个方法。

值得指出的是许多拓扑向量空间（比如希尔伯特空间或者巴拿赫空间）中的定理以及其中的极限运算，通过使用勒贝格积分获得了巨大的简化。