扩展的实数轴由实数轴加上“+∞”和“−∞”得到（注意“+∞”和“−∞”并不是实数），写作或 [−∞,+∞]。扩展的实数轴在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

对任意实数a，定义 −∞ ≤a≤ +∞，就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合U是 +∞ 的邻域，当且仅当它包含集合 {x|x≥a}，这里a是某个实数。−∞ 的邻域类似。 是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间 [0,1] 同胚。

R上的算术运算可以部分地扩展到，如下：

通常，不定义 ∞ − ∞，0 × ±∞ 和 ±∞ ÷ ±∞。同时，1 ÷ 0 也不定义为 +∞ （因为无足够强的理由说明为何不定义为 −∞ ）。这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意，在这些定义下， 不是域，也不是环。

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

通常，只要表达式都有定义，R的算术性质在上也成立。

按照极限，一些函数可以自然地扩展到。例如，可以定义exp(−∞) = 0，exp(+∞) = +∞，ln0 = −∞，ln(+∞) = +∞ 等等。