列紧集又叫致密集，是度量空间中的一类子集。设A是度量空间X中的无穷集，如果A中的任一无穷点列必有收敛到X的子点列，就称A是X中的列紧集；如果X本身是列紧集，就称X是列紧距离空间，简称为列紧空间。列紧集是有界的。需要注意的是，一般度量空间与欧氏空间不同，有界闭集不一定为列紧集

邻域与有界集

设X是一个距离空间，A是X的一个子集，若存在x0∈X，及r>0，记

称 为 的一个r邻域，或简称邻域，使得 ，则称A为有界集。

内点与开集

设M为距离空间X的子集，如果存在x的一个邻域整个包含于M，则称x∈M是M的一个内点。若M的所有点都是内点，则称M为开集。

完全有界的

设M是距离空间X中的一个子集，ε>0，N⊂M，若对任意x∈M，总存在y∈N，使得d(x,y)

设A是距离空间X中的点集，如果对于任给的ε>0，A总存在有限的ε-网，则称A是完全有界的。

完全有界必然有界。

完备性和完备空间

设X是度量空间，{xn}是X中的点列。如果对于任一正数ε，存在正整数N，使得当a,b>N时，，就称{xn}是X中的基本点列（又叫柯西序列）。如果X中的每个基本点列都收敛，则称X是完备（度量）空间。

紧集

设A是度量空间X的一个子集，是一族（无限）开集且。如果能从E中挑选有限个开集Ei覆盖A，即如果，那么称A是紧集。

表述一

列紧集(sequentially compact set)又称致密集，是度量空间中的一类子集。设A是度量空间X中的无穷集，如果A中的任一无穷点列必有收敛到X的子点列，就称A是X中的列紧集。如果收敛点恰好在A中，那么称A是自列紧集。如果X本身是列紧集，就称X是列紧距离空间，简称为列紧空间。

表述二

设X是任一拓扑空间，又A⊂X，如果A的每个无穷子集都至少有一个聚点属于X，则A叫做拓扑空间X的一个列紧集。如果聚点恰好属于A，那么称A是自列紧集。如果X作为空间X的点集是列紧的，则拓扑空间X叫做一个列紧空间。例如，任意空间的所有有限点集是列紧的；空集是列紧集I有限空间为列紧空间，列紧空间的每个闭集都是列紧集；每一个紧致空间都是列紧空间。

两种表述分别对应不同的背景。表述一是针对度量空间而言的，定义了度量以后才会有收敛的概念。而表述二是针对一般的拓扑空间的，是度量空间的延伸。在此表述下闭的列紧集（自列紧集）不再等同于紧集。

以下性质均针对表述一中的定义，即只考虑度量空间中的列紧集。

有界集与列紧集

（1）在 中，任意有界集是列紧集。例如，根据包查诺-魏尔史特拉斯（Bolzano-Weierstrass）定理（又叫聚点定理、致密性定理），数轴上任何有界集必是列紧的。

因此得到一个推论：任意有限集都是列紧集。

（2）在 中，任意有界闭集是自列紧集。在实数理论中，该性质被概括成有限覆盖定理。

（3）列紧集的任何子集（包括空集）是列紧集。

（4）列紧集的闭包也是列紧集。

事实上，设A是度量空间X中的一列紧集，任取一点列，对于每个正整数n，根据闭包的定义，xn的邻域与A的交集非空。在该邻域中取一点记为yn，则是A中的点列且。因为A是列紧集，存在点p∈X和的子列，使得收敛到p。根据收敛的定义，当k→∞时，。

于是当k→∞时，

因此，即对任意点列总能找到一个收敛于X的子点列，所以是列紧集。

列紧空间的子集

（1）列紧空间内任意子集都是列紧集。

（2）列紧空间内任意闭子集都是自列紧集，即列紧的闭集是自列紧集。

自列紧集的定义上文有提到，即子列的极限点在集合中。如果一个闭集A是列紧的，根据列紧的定义，A中任意点列都有收敛子列。再根据闭集的定义，A中包含了所有点列的极限点。因此子列的极限点仍在A中，A是自列紧集。

反过来，自列紧集必然是列紧的闭集，只要证明自列紧集是闭集即可。设A是自列紧集，如果A中无极限点，根据闭集的定义可知A是闭集。如果A中有极限点，设x0∈X是A的任一极限点，由极限点的定义，存在一各项互异的点列收敛到x0，所以子列。而A是自列紧集，子列的极限点在A中，即x0∈A。由x0的任意性可知A包含了所有的极限点，所以A是闭集。

（3）列紧空间必是完备空间，即列紧空间中的基本点列必然收敛。

这是因为如果是列紧空间X的任一基本点列，根据列紧空间的定义，存在子列。又根据基本点列的性质，如果，那么。由{xn}的任意性可知X中任何基本点列都收敛，因此X是完备空间。

必要条件和充要条件

（1）距离空间X中集合A是列紧的必要条件是A为完全有界的。

证明：设A为距离空间X的列紧集。如果A不是全有界的，则必存在某个 ，使得A没有有限的 网。于是对于任意抽取的x1∈A，必存在x2∈A使得 ，否则{x1}就是A的一个有限 网。同理，存在x3∈A使得 ，否则{x1,x2}就是A的一个有限 网，这样可以一直进行下去，于是我们得到一个点列{xn}使得当m≠n时， ，{xn}显然没有收敛的子列，与A的列紧性相矛盾，故A为完全有界的。

但这个定理的逆命题不成立，距离空间X中A完全有界不能得到A是X中的列紧集。然而从下述定理中知道只要加上X完备这一条件，逆命题即成立。

（2）完备距离空间X中集合A是列紧的充分必要条件是A为完全有界的。

证明：设X为完备的距离空间，A⊂X为全有界集。任取A中的一个点列，如果中只有有限个互不相同的元素，则显然含有收敛的子列，因此，可设中有无限多个互不相同的元素，记这些元素构成的集合为。是全有界的，于是X中存在有限个以1/2为半径的开球使得这些开球的并包含，因此它们中至少有一个开球包含了中无限多个元素，这些元素构成的集合记为，这个开球记为，即，则，且是无穷集。本身也是全有界的，将以上的论证应用于，则存在的子集，使得中含有中无限多个元素且的直径不大于1/2。依此类推，我们可以找到一系列的集合满足如下条件：，而且的直径不大于。每个均含有中无限多个元素。注意到每个中的所有元素都是中的某些项，对于k=1，可取中的某一项，使得。对于k=2，可取中的某一项使得且可设，依此类推，便得到的一个子列使得。根据的性质，是基本点列，又因为X是完备的，故在X中收敛，于是A是列紧的。

（3）设X是一个距离空间，A⊂X是紧集的充分必要条件为A是自列紧的。如果A=X，那么X是列紧空间，同时X是紧集，所以列紧空间简称紧空间。