设{xn}是度量空间(R,ρ)中的点列，如果对任意ε>0，存在N(ε)>0，使得当n,m>N(ε)时，恒有 ρ(xn,xm)<ε，则{xn}称为R中的基本点列或柯西点列。
设{xn}是
度量空间(R,ρ)中的点列，如果对任意ε>0，存在N(ε)>0，使得当n,m>N(ε)时，恒有 ρ(xn,xm)<ε，则{xn}称为R中的基本点列或柯西点列。
设(R,ρ)，(R1,ρ1)是两个度量空间，如果存在由R到R1上的映射T，使得对一切x,y∈R，有ρ(Tx,Ty)=ρ(x,y)成立，则称T是R到R1上的等距映射，并称R与R1等距同构。
对于度量空间R，如果有完备的度量空间R，使R等距同构于R1的一个稠密子空间，则称R1是R的完备化空间。任何度量空间都必存在完备化空间，且若除去等距同构不计外，完备化空间是惟一的。1906年,弗雷歇(Frechet,M.-R.)在引进度量空间后，又运用柯西收敛准则提出了度量空间的完备化。
度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的，亦称距离空间。一类特殊的
拓扑空间。
弗雷歇(Fréchet，M.-R.)将
欧几里得空间的距离概念抽象化，于1906年定义了度量空间。
在度量空间中，紧性、可数紧性、序列紧性、子集紧性是一致的。可分性、遗传可分性、第二可数性、林德勒夫性是一致的。度量空间必满足第一可数公理，是豪斯多夫空间，完全正规空间，仿紧空间。伪度量空间满足第一可数公理，但一般不是
豪斯多夫空间。