分布密度亦称“概率的分布密度”。设某连续随机变量落在某区间内的概率为P，△x>0是区间的长度，则P/△x的比值叫做随机变量在该区间上的“平均概率分布密度”，如果当区间长度△x→0时，比值的极限存在，则这极限叫做随机变量在点x处的概率分布密度，简称分布密度。

分布密度亦称“概率的分布密度”。设连续型随机变量落在区间内的概率为其中x是任何实数，△x>0是区间的长度，则比值叫做随机变量在该区间上的“平均概率分布密度”。如果当△x→0时，比值的极限存在，则这极限叫做随机变量在点x处的概率分布密度，简称分布密度，记作

分布密度的图形通常叫做“分布曲线”。

连续型分布是随机变量的两个常用的分布类型之一，它的分布函数不能用列表方式表示，若随机变量ξ可取某个区间(c，d)中的一切值，且存在一个非负可积函数，使得ξ的分布函数可以表示为

则称ξ服从连续型分布，或称ξ是连续型随机变量，称为ξ的分布密度。

由定义显然可知，连续性随机变量X的分布函数是连续函数。

密度函数具有如下性质：

(1) 非负性：

(2) 规范性：

(3)

即连续型随机变量ξ落在任一区间(a，b]内的概率等于分布密度在该区间上的积分。由(1)式知道，的值等于以为底，以曲线为顶的曲边梯形的面积。由性质(2)知道，介于曲线与x轴之间的平面图形的面积为1；由性质(3)知道，ξ落在区间的概率等于以曲线为曲边，底为区间的曲边梯形的面积。

(4) 若x0是的连续点，则

(5) 因为是连续函数，故有

即连续型随机变量取任一单个值的概率为0。

由此可知：概率为0的事件不一定是不可能事件，称之为几乎不可能事件；同样概率为1的事件也不一定是必然事件。

由于连续型随机变量取单点值得概率为0，因此，计算连续型随机变量X落在某区间的概率时，区间是否包含端点是无需考虑的。因此，对于连续性随机变量X，若a

常用的连续型分布有正态分布、均匀分布、指数分布、对数正态分部、韦布尔分布、Γ分布、Β分布等。

对二维随机向量，用表示它们的分布函数，若存在非负的二元函数，使对任意实数有

则称为连续型随机向量，称为连续型分布函数，而称为的分布密度，其分布密度有如下性质：

1.

2.

3. 若在点处连续，则有

4. 若是平面上的一个区域，则点落在内的概率为

亦即概率等于以为底、以曲面为顶面的柱体体积。

例题解析

例1 设随机变量X的概率密度为试求X的分布函数。

解： 当时，

当时，

当时，

当时，

故得X的分布函数为：

例2 设随机变量X的密度函数为(其中常数k>0)，

试求：（1）k的值；

（2）

（3）X的分布函数。

解：（1）由得

（2）

（3）由则

参考资料

最新修订时间：2023-05-28 11:53