八元数（英文：Octonion；德文：Oktaven），八元数是
四元数的一个非结合推广，通常记为O。
八元数第一次被描述于1843年，于一封John Graves给
哈密顿的信中。后来八元数由
凯莱在1845年独自发表。凯莱发表的八元数和John Graves给哈密顿的信中所提及的并无关系。
八元数可以视为
实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1,i,j,k,l,il,jl,kl}的
线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成 其中系数xa是实数。
八元数的加法是把对应的系数相加，就像
复数和
四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的
乘法表来决定。
一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a,b)和(c,d)的乘积定义为：
一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，法诺平面中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也是一条直线），这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。
然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的
子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由O的任何两个元素所生成的子代数都与R、C或H同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与
四元数不一样。
这意味着八元数形成了一个非结合的
赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质。它们都有
零因子。
这样，实数域上唯一的赋范可除代数是R、C、H和O。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的
可除代数。
由于八元数不是结合的，因此O的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个
拟群。