克鲁尔维数(Krull dimension)是决定环结构的一个参数，对赋值环的研究有重要意义。

设为拓扑空间X的所有不可约闭子集的集合。则X的克鲁尔维数定义为

设R为交换幺环。则R的克鲁尔维数定义为

交换幺环R中所有素理想的高的上确界等于R的维数。

设是交换幺环R的素理想，则素理想列的长度的上确界称为的高，记为。对任一理想称为的高。

克鲁尔维数是决定环结构的一个参数，对赋值环的研究有重要意义。在代数几何史上，维数的定义经历了三个阶段：最早是按流形的定义，即局部解析同构于n维单位球的流形为n维；到上个世纪末，德国学派将代数集的维数定义为函数域(在常数域上) 的超越次数；而20世纪40年代至今采用克鲁尔维数，即函数环中素理想列的高的上确界，每个新定义都和原来的一致，但适用范围更广。

如果R是整环，则当且仅当R是域；

整数环的维数为1；

阿廷环就是0维诺特环；

戴德金整环就是1维整闭诺特整环。

克鲁尔主理想定理：设R为诺特环，，f不是零因子也不是单位，则包含f的每个极小素理想的高均为1。

设Y为仿射簇，则Y的维数等于其仿射坐标环A(Y)的维数。

仿射空间的维数等于n。

若Y是拟仿射簇，则。

显然且对任一理想有

对任意有。

如果R是诺特环，则当且仅当每个有限生成R-模M都有合成列。