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高斯函数

数学术语

高斯函数以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名。高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影。

定义

高斯函数的形式为：

其中a、b与c为实数常数，且a> 0。

c= 2的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。

高斯函数属于初等函数，但它没有初等不定积分。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分：

相关定义

高斯函数的图形在形状上像一个倒悬着的钟。参数a指高斯曲线的峰值，b为其对应的横坐标，c即标准差（有时也叫高斯RMS宽值），它控制着“钟”的宽度。

高斯函数的积分

任意高斯函数的积分是：

另一种形式是：

其中f必须是严格积分的积分收敛。

证明：

积分

对于某些实常数a，b，c> 0可以通过将其放入高斯积分的形式来计算。首先，常数a可以简单地从积分中分解出来。接下来，积分变量从x变为y=x-b。

然后，使用高斯积分标识：

有：

应用

高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影，这方面的例子包括：

参考资料

最新修订时间：2023-07-24 09:12

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