概念
非游荡集(nonwandering set)是动力系统中的重要的不变集。一个动力系统f的所有非游荡点的集合称为f的非游荡集，记为Ω(f)。对于紧空间上的动力系统，非游荡集是非空的闭不变集，而且由于极限集属于非游荡集，因此所有的轨道，当时刻趋于无穷时将停留在非游荡集的任意邻域之中。由此看到，非游荡集的结构在相当程度上决定着动力系统的整体行为，故弄清非游荡集的构造及扰动下的稳定性(即Ω结构稳定)都是十分重要的。
游荡点
游荡点是动态系统的一种相点。由该点出发的相轨经足够时间后将不再回归至它的某个邻域。其形式定义为：对R中(或流形M上)的点p，若存在它的邻域U⊂R(或M)和某时间N>0，使对任意t>N，均有φt(U)∩U=∅，即由U内出发的轨道均离开U而不返回，则称点p为游荡点，否则称为非游荡点。
非游荡点
非游荡点是动力系统中最重要的概念之一，指其任意邻域具有域回归性的点。设f是M上的流(离散动力系统)，若对于x的任意邻域U及任意T>0(N>0)，存在t>T(n>N)，使得：
则点x∈M称为非游荡点。对于半流与离散半动力系统，非游荡点定义相同。极限点、周期点以及P式稳定轨道上的点都是非游荡点。不是非游荡点的点称为游荡点。
不变集
动力系统中的重要概念之一。它是动力系统研究的重要对象。设f是M上的流(离散动力系统)，M的子集A是不变集当且仅当对任意t∈R(n∈Z)，有：
由此得出f(t，A)=A(f(A)=A)。粗糙地说，不变集就是由整条轨道组成的子集。如果A⊂M是一不变集，则f对A的限制也是一动力系统。对于半流及离散半动力系统f，设A是M的子集，若对任意t≥0(n≥0)有f(t，A)⊂A(fn(A)⊂A)(此时不一定有f(t，A)=A(fn(A)=A))，那么就称A是f的不变集。重要的不变集有ω极限集、α极限集、非游荡集和链回归集等。
动力系统
粗略地说，如果自然界中一些随时间演变的体系，其各种状态x所构成的集合X有与时间t相关的动态规律Фt(x)(-∞
对动力系统的研究开始于19世纪末，1881年以后，法国数学家庞加莱开始的常微分方程定性理论的研究就可以看作是动力系统的创始。后来有许多学者，特别是美国数学家G.D.伯克霍夫(1912年以后)从事动力系统一般定性理论的研究，他分别从整体区域和奇点附近两个方面进行研究，证明了三体问题中的几何定理，推进了冯·诺伊曼的工作，得到强形式的遍历性定理。1931年以后，原苏联数学家马尔可夫(小)总结了G.D.伯克霍夫的理论，正式提出动力系统的抽象概念。在以后的若干年里，原苏联学者对动力系统理论的发展做出了贡献，例如，柯尔莫戈罗夫和阿诺尔德等建立了关于哈密顿系统方程组解的稳定性理论。
20世纪60年代以后，动力系统的研究又发生了质的变化。这主要起源于结构稳定性的研究。常微系统结构稳定性的概念首先由原苏联数学家安德罗诺夫和庞特里亚金于1937年就某类平面常微分方程组提出。20多年以后，由于出现了二维结构稳定系统稠密性定理，这方面的研究才引起人们的重视。美国数学家斯梅尔在原苏联动力系统学派的影响下，开始了现代抽象动力系统的研究，他在1966年国际数学家大会上作的《微分动力系统》报告标志着现代微分动力系统这个新兴理论分支的诞生。由于在高维情形下稠密性定理不再成立，这就介入了具有异常复杂性的分形问题，这也许更符合自然界中出现的一些混沌现象。20世纪80年代以来，人们关心的洛伦兹奇异吸引子及费根鲍姆现象复苏了复解析函数迭代理论的研究，一些著名数学家的工作使复解析动力系统理论有了实质性的突破与进展。
紧空间
1.具有有限交性质的闭集族有非空交。
2.具有有限交性质的集族其各成员之闭包的交非空。
3.任意网有聚点。
4.任意滤子有聚点。
5.任意极大滤子是收敛滤子。
平凡空间、有限补空间都是紧空间，但实直线不是紧的。紧性是闭遗传的且具有可积性。紧空间的连续像是紧空间。紧豪斯多夫空间是正规空间。
紧性概念起源于在1894年被证明的波莱尔定理：闭区间的任意可数开覆盖有有限子覆盖。勒贝格(Lebesgue，H.L.)注意到该定理对闭区间的任意开覆盖同样成立。波莱尔(Borel，(F.-É.-J.-)É.)于1903年又将此结果推广到欧氏空间的有界闭子集上。亚尼谢夫斯基(Janiszewski，Z.)于1912年对于抽象空间曾用过紧性概念。紧空间的概念是菲托里斯(Vietoris，I.)于1921年引入的。在紧空间理论形成和发展过程中，库拉托夫斯基(Kuratowski，K.)和谢尔品斯基(Sierpiski，W.)于1921年，萨克斯(Saks，S.)于1921年，亚历山德罗夫(Александров，П.С.)和乌雷松(Урысон，П.С.)于1923年，吉洪诺夫(Тихонов，А.Н.)于1930年，都先后作出了卓越的贡献。
参考资料
最新修订时间：2023-05-27 23:38