设*是定义在集合S上的一个二元运算，如果有一个元θl∈S，使得对于任意的元素x∈S都有θl*x=θl，则称θl为S中关于运算*的左零元；如果有一元素θr∈S，对于任意的元素x∈S都有x*θr=θr，则称θr为S中关于运算*的右零元；如果S中有一元素θ，它既是左零元又是右零元，则称θ为S中关于运算*的零元。

设是一个代数系统，是集合A上的一个二元运算。

(1) 若存在元素，对一切都有，则称为A中关于运算的左零元(left zero)；

(2) 若存在元素，对一切都有，则称为A中关于运算的右零元(right zero)；

(3)若存在元素，对一切都，则称为A中关于运算的零元(zero element)。

定理1 设是一个代数系统，是集合A上的一个二元运算。若A中有关于运算的左零元与右零元，则，且A中零元唯一。

证明: 。

假设A中有两个零元与，则。

定理2 设是一个代数系统，是集合A上的一个二元运算，且A中元素的个数不小于2。若该代数系统中存在幺元e和零元，则。

证明：假设，则对任意a∈A，有于是，集合A中所有元素都相同，这与A中元素的个数不小于2相矛盾。

例1 设代数系统，其中P(A)是有限集合A的幂集，是集合的交与并运算。则的幺元为A，零元为；则的幺元为，零元为A。

例2 设代数系统，其中R是实数集，+与×是实数加与乘运算。则+的幺元为0，且没有零元；则×的幺元为1，零元为0。

例3 设，定义集合A上的两个二元运算和△分别如表1与表2所示。则1，2均是运算的右零元。2是△运算的零元。