二元运算是指由两个元素形成第三个元素的一种规则，例如数的
加法及
乘法;更一般地,由两个
集合形成第三个集合的产生方法或构成规则称为二次运算。
定义1 设 是一个
集合，且 是一个从 到 的
映射。于是称 为集合 X 中的n 元运算。称整数 n 为运算的
阶。对
矩阵代数，特别是矩阵的乘法规则，归功于著名的英国代数学家
凯利。他创立了特殊型式的
超复数。矩阵的乘法可推广到更高阶矩阵。但要注意，要使乘法能进行，第一个矩阵的列数应与第二个矩阵的行数相同。凯利的规则(通常称为行乘列法则)给出了mXn矩阵与nXk矩阵的乘积。
因为有些2×2矩阵或n×行矩阵没有逆阵，所以这种矩阵的有些集合关于乘法不是群。还有，虽然矩阵乘法总满足
结合律，但在矩阵集上并不一定满足
交换律。
定义1 设“⊙”是
非空集合A上的二元运算，如果对任意的a、b、c∈A，有(a⊙b)⊙c=a⊙(b⊙c)，则称运算“⊙”满足结合律。
(1)a*(b⊙c)=(a*b)⊙(a*c)，则称“*”对“⊙”有左
分配律；