数学上，一个辛流形是一个装备了一个
闭、非退化2-形式ω的
光滑流形，ω称为辛形式。辛流形的研究称为
辛拓扑。辛流形作为
经典力学和
分析力学的抽象表述中的流形的
余切丛自然的出现，例如在经典力学的哈密顿表述中，该领域的一个主要原因之一：一个系统的所有组态的空间可以用一个流形建模，而该流形的余切丛描述了该系统的
相空间。
具有某种特殊结构的微分流形，这种结构称为辛结构。设M为一微分流形,又在M上具有一个二次非退化的闭外微分形式σ,则称σ是M上的一个辛结构，又称M为具辛结构σ的辛流形。微分流形的辛结构联系于向量空间的辛结构。设V是m维向量空间,在V上定义了一个反对称、非退化的
双线性形式σ，即σ满足：①反对称性，σ(α,β)=-σ(β,α)，对任意α,β∈V成立；②非退化,若对任意β∈V，有σ(α,β)=0，必有α=0,则称σ为向量空间V上的一个辛结构,又称V 为具辛结构σ的
辛向量空间。对于具辛结构σ的微分流形M,在每一点x∈M，将σ(x)视为TxM上的双线性形式，即得出向量空间TxM上的辛结构。具辛结构的向量空间 V或具辛结构的微分流形M都必须是偶数维的。
辛流形总是自带一个辛结构ω，其外积构成辛流形的辛形式，它是处处非零的。一般而言，辛流形的辛形式只是光滑的，只能保证辛流形的可定向的，必须要全纯辛形式才一定保证能够有复定向，这样的辛流形被称为全纯辛流形。全纯辛流形是否一定存在呢？答案是肯定的，在Berger的分类中，完整群为Sp（m）的hyperkahler manifold就是全纯辛流形，因此一定是复可定向的。
对于全纯辛流形而言，就连复定向也变成平庸的了，似乎还要考虑更高层次的辛定向，定义为存在处处非零的辛体积形式，使得四元数射影空间具有与
复射影空间或实射影空间类似的定向。
有一个标准“局部”模型，也就是R，其中ωi,n+i= 1;ωn+i,i= -1;ωj,k= 0 对于所有i = 0,...,n-1;j,k=0,...,2n-1(k≠j+nandj≠k+n)。这是一个线性辛空间的例子。参看
辛向量空间。一个称为
达布定理的命题表明
局部来看每个辛流形都和这个简单的辛流形相似。
从定义可以直接得到每个辛流形M都是偶数维2n;这是因为ω是无处为0的形式，辛体积形式。由此可以得到，每个辛流形是有一个标准的
定向的，并且有一个标准的
测度，刘维尔测度（经常重整为ω/n!）。
和辛流形紧密相关的有一个奇数维流形，称为
切触流形。每个2n+1-维切触流形(M, α)给出一个2n+2-维辛流形(M×R, d(eα)).
辛流形的子流形有两个自然的几何概念，它们是辛子流形（可以是任何偶数维）和
拉格朗日子流形（一半维度），其中辛流形要导出该子流形上的一个辛形式，而辛流形限制到拉格朗日子流形的切空间上时为0。拉格朗日子流形自然地出现到很多物理和几何的情况中；例如，辛同胚的图像在乘积辛流形(M×M, ω × −ω)上是拉格朗日子流形。