轮换式是一个数学定义。n元多项式f(x1,x2,…,xn),如果将变数(x1,x2,…,xn按一定顺序轮换，如以x2代x1,x3代x2,…,xn代xn-1,x1代xn,有f(x1,x2,…,xn-1,xn)=f(x2,x3,…,xn,x1);那么这个多项式叫做轮换多项式，简称轮换式。比如，xx2+x2x3+x3x1;(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3;(x-y+z)(y-z+x)(z-x+y)都是轮换式。

在一个含有若干个元的多项式中,如果任意交换两个元的位置,多项式不变,这样的多项式叫做对称多项式。

如果一个多项式中的变数字母按照任何次序轮换后，原多项式不变，那么称该多项式是轮换多项式。 对称轮换式就是两项互换，可以看做轮换式的特殊情况。

下面通过例子来说明轮换式和对称式的区别和联系：

1、对于这几个代数式：

交换这些式子中的任意两个字母，式子不变。我们把这样的式子叫做对称式。

2、再看这几个式子：

将这些式子中的 x 换成 y， 将 y 换成 z, 将 z 换成 x,即将字母做一个轮换， 式子保持不变。我们将这样的式子叫做轮换式。

由此可见：对称式一定是轮换式，但轮换式未必是对称式。另外，两个轮换式（对称式）的和、差、积、商仍然是轮换式（对称式）。

例1：分解因式

分析： 这是一个二元对称式，二元对称式的基本对称式是 .任何二元对称多项式都可用 表示，如 ，二元对称多项式的分解方法之一是：先将原式用 表示，再行分解。

解：

∴原式

例2:分解因式

此题中若将式中的b换成a，c换成b，a换成c，即为 ，原式不变，这类多项式称为关于a、b、c的轮换对称式，轮换对称式的因式分解，用因式定理及待定系数法比较简单。下面先粗略介绍一下因式定理，为了叙述方便先引入符号 ， 如对一元多项式 可记作 ， 即表示当 时多项式的值，如 时，多项式 的值为 ；当 时多项式 的值为

因式定理：如果 时多项式 的值为零，即 则 能被 整除(即含有 的因式)。

如多项式 ，当 时， 即 含有 的因式，事实上 .

对于一般的形式： ，若 ，则

由于 （其中 | 表示整除）

∴

由以上分析可知：对于多元多项式,在使用因式定理时可以确定一个主元,而将其它的元看成确定的数来处理.

我们利用因式定理来解例2：

解 这是一个含有a、b、c三个字母的三次多项式，现以a为主元，设 ，易知当a=b和a=c时，都有 ，故a-b和a-c是多项式的因式，而视b为主元时，同理可知b-c也是多项式的因式，而三次多项式至多有三个因式故可设 ，其中k为待定系数，令 可得

∴

例3分解因式

分析: 这是一个关于a、b、c的四次齐次轮换多项式，可用因式定理分解，易知 是多项式的三个因式，而四次多项式还有一个因式，由轮换对称性可知这个一次因式应是 ，故可设 （其中k为待定系数），取 可得 ，所以

原式

一次齐次的轮换式形如：

二次齐次的轮换式形如：

三次齐次的轮换式形如：

其中的 l, m, n, k 是待定常数.

齐次与非齐次

分解因式

易知其有因式 。因为原式是五次齐次轮换式，所以还缺一个二次齐次轮换式。不妨设

令 可得

令 可得

于是可得 。这就给出了所要的因式分解。

分解因式：

记 ， 则此题就变为上一例题。最后结果为：

一个有用的公式

分解因式：

当 时，原式为 0，所以原式有因式 。再者，原式是三次齐次轮换式，所以我们还缺一个二次齐次轮换式因式。 不妨设

比较两边 的系数可得 。比较 的系数可得 ，于是：

有时候我们也把它写为