角平分线长公式_数学公式 - 威林百科weilinceramic.com

角平分线长公式

数学公式

角平分线长公式描述了三角形内角平分线长与各线段间的定量关系。

第一形式

公式

在△ABC中，∠A的角平分线记为，∠B的角平分线记为，∠C的角平分线记为，三边边长为a、b、c，则

其中p是半周长。

推导过程

证明。法一。如图1，我们先证明。

由角平分线定理可得，并注意到，消去，化简得。

由余弦定理，，

把和的表达式代入（1）中，

即

设，那么上式可以写成

于是

其他角平分线长度同理可证。

证毕。

提要。法二。运用斯特瓦尔特定理，可得证明。

第一形式也可以变形写为

在△ABC中，∠A的角平分线记为，∠B的角平分线记为，∠C的角平分线记为，三边边长为a、b、c，则：

第二形式

公式

三角形ABC的角平分线为AD，D在CB上。则

推导过程

证明。如图3，延长AC到E，使CE=CD，连接DE，则AE=AC+CD，。在AB边上取点F，使BF=BD，连接DF，则AF=AB－BD，∠BDF=∠BFD。则

即

又

则

于是，便有，故

又

由角平分线定理得

即

代入①中得

证毕。

第三形式

公式

△ABC中，角平分线

推导过程

证明。如图4，设AB、AC、AD长a、b、f。易知

即

于是

证毕。

外角平分线长公式

公式

下面不加证明地给出公式。在△ABC中，∠A的外角平分线记为，∠B的角平分线记为，∠C的角平分线记为，三边边长为a、b、c，则

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最新修订时间：2024-09-30 13:39

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