虚根_方程的复数根 - 威林百科weilinceramic.com

虚根

方程的复数根

虚根，顾名思义就是解方程后得到的是虚数，这样的根叫虚根。虚数是为了满足负数的平方根而产生的，规定根号-1为i。虚根一般只在二次或更高次的方程中出现。

定义

虚根指的是方程的复数根。如果一个实系数整式方程有虚根，则其共轭复数也是所给方程的根(共轭根)。实系数二次方程具有虚根的必要充分条件是。

相关定理

定理一

如果实数系数方程有虚根，这里a和b都是实数，，那么它还有另一个虚根。

这个定理叫做实数系数方程虚根成对定理，这个定理就是说，一个实数系数方程如果有虚根，那么共轭虚根一定成对出现，下面我们用两种方法来证明这个定理。

证明一设用

除所得的商是，余式是，那么就有

因为被除式和除式的各项的系数都是实数，所

以商和余式的各项的系数都是实数。

因为a+bi是方程的根,所以．因此，把代入上式，得

就是

根据复数等于零的条件，得

因为，所以从(2)，得，代入(1)，得，因此，

从而，，由此可知，是的根。

证明二因为a+bi是的根，所以是的因式，因此，和

的最高公因式，只有两种可能：或者是，或者是。

因为，和的各项的系数都是实数，它们的最高公因式的各项的系数也都是实数，而的各项的系数不全是实数，所以不是和的最高公因式。因此，是和的最高公因式，由此可知，

因此，是的根。

因为实数系数方程如果有虚根，共轭虚根一定成对出现，所以我们可以得出下面的两个推论。

推论1

实数系数奇次方程至少有一个实根，一般有奇数个实根。

推论2

实数系数偶次方程或者没有实根，或者有偶数个实根。

因为实数系数方程有一个实根c，就有一个实数系数因式和它对应，有一对虚根，就有一个实数系数因式和它对应，所以我们又可以得出下面的推论。

推论3

实数系数多项式一定是一次或者二次的实数系数不可约因式的积。

定理2

如果有理数系数方程有无理根，这里a、b和d是有理数，是无理数，，那么它还有另一个无理根。

定理3

如果有理数系数方程有无理根，这里a、b、c和d是有理数，是无理数，ab≠0，那么它还有另外三个无理根，和。

定理4

如果有理数系数方程有一个根是，这里a、b和c是有理数，是无理数，，那么它还有另外三个根，和。

定理5

如果有理数系数方程有一个根是，这里a、b、c和d是有理数，是无理数，，那么它还有另外三个根，和。

例1 已知方程有一个根是，解这个方程。

解因为实数系数方程有一个根是，所以它还有一个根是，用

除得．解得。

因此，原方程的根是。

参考资料

最新修订时间：2022-08-25 14:38

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