在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的赋范可除代数同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。

在代数学中，胡尔维兹定理（又名“1,2,4,8定理”）是以在1898年证明它的阿道夫·胡尔维兹命名。该定理表明：任何带有单位元的赋范可除代数同构于以下四个代数之一：R,C,H和O，分别代表实数、复数、四元数和八元数。对实赋范可除代数的分类始于弗洛比纽斯，发扬于胡尔维兹，由佐恩整理为一般形式。一个简短的历史摘要可见Badger。

完整的证明能在凯特和索洛多斯尼科夫或者夏皮罗处找到。一个基本的想法是，如果一个代数A是成正比于1的，那么它同构于实数。否则，我们使用凯莱-迪克森结构扩展子代数以同构于1，并引入一个向量正交于1。此子代数是同构于复数的。如果它不是A的全体，那么我们再次使用凯莱-迪克森结构和另一个与复数正交的向量，得到一个与四元数同构的子代数。如果这还不是不是A的全体，我们重复以上行为一次，并得到同构于凯莱数（或八元数）的子代数。我们现在有一个定理，说的是每一个包含1而又不是A自身的子代数是结合的。凯莱数不是结合的，因此必须为A。

胡尔维兹定理也可以用于证明n个平方和与n个平方和的积仍可以写成n个平方和仅当n为1,2,4或者8时。

在数系理论中，凯莱-迪克森构造以定义在实数集的代数结构为基础构造出新的代数系统序列。序列中每一个代数系统的维度都是其前一个的2倍。所有通过该过程产生的代数系统，即所谓的凯莱-迪克森代数系。它扩展了复数的概念，属于超复数的范畴。

凯莱-迪克森构造的代数系统中，都有范数和共轭的概念。从广义的概念上讲，集合中的一个元素和它的共轭的乘积等于它的范数的平方。

一个有趣的现象是，在凯莱-迪克森构造的代数系统序列中的每一个代数系统比起其前一个系统，除了有一个更高的维度数之外，都将失去前一个系统所拥有的一个特定性质。

在数学中，一个赋范可除代数A是一个在实数域或复数域上的可除代数，它同时还是一个赋范线性空间，这里范数满足下面的性质：

尽管定义允许赋范可除代数是无限维的，但事实上并没有。仅有的实数域上的赋范可除代数（在同构意义下）有

这一结论被称为胡尔维兹定理。在所有以上情形中，范数由绝对值给出。注意，前三种是结合代数，而八元数是交错代数（结合性的一种弱形式）。唯一的复数域上的赋范可除结合代数是复数域自身。赋范可除代数是合成代数的一种特殊情况。合成代数是具有可乘的二次型的幺代数。通常的合成代数不必是可除的，相反，它可能含有零因子。实数域上的合成代数提供了三种额外的代数：分裂复数、分裂四元数和分裂八元数。