等距映射(isometry)是黎曼流形间保持弧长的映射。设(M，g)和(N，h)是两个黎曼流形，φ：M→N是光滑映射，若φ h=g，即对任意的p∈M及X，Y∈TpM，都有g(X，Y)=h(φ X，φ Y)，则称φ是局部等距映射。对于局部等距映射φ：M→N，必定有dim M≤dim N。当dim M黎曼流形的变换群”)。

设(A，d)与(B，e)为两个度量空间。称从A到B中的映射f是等距映射，如果它保持距离，即是说，如果对A的任一点偶(x，y)，有 e(f(x)，f(y))=d(x，y)。

黎曼流形上的变换群(transformation groups in Riemannian manifolds)是黎曼流形到自身的变换群，主要是指黎曼流形的等距变换群、共形变换群和射影变换群。一个微分流形到它自身的可微同胚的全体构成一个群，称为该流形的可微变换群。这个群是非常大的，一般说来，它不是李群，若在微分流形上加一定的结构，则该微分流形到自身的、保持该结构不变的可微同胚构成的群往往可能是一个李群。例如，n维连通黎曼流形M到自身的等距变换构成的群称为M的等距变换群，它是一个李群，其维数至多是n(n+1)/2。若M的等距变换群恰好是n(n+1)/2维李群，则M必是常曲率空间，且它与下列空间之一等距：Rn，球面Sn，实射影空间RPn，n维单连通双曲空间。n维连通黎曼流形M到自身的共形变换构成的群称为M的共形变换群，当n≥3时它是维数至多为(n+1)(n+2)/2的李群，n维球面的共形变换群达到了这个最大维数。若黎曼流形M到自身的可微同胚把测地线变为测地线，则称它为M的一个射影变换，M的所有射影变换构成的群称为M的射影变换群。

以下设M与是两个给定的n维Riemann流形，关于M与的同一概念用同一字母以加“一” 与不加“一” 来区别。例如， M与中的度量分别记作g与；Riemann连络分别记作，等等。

定义1设是一微分同胚，若f满足

则称f 为仿射同胚。当如上的f存在时，说M与是互相仿射同胚的。

命题2 微分同胚为仿射同胚的充要条件是：在每点处总可选取f的局部表示，使关于f对应的点有相同的局部坐标且。

定义3设是一微分同胚，若f满足

其中是任给的，则称f为等距映射；当这样的f存在时说M与等距同胚，简称等距。

类似于命题2(推导更直接) 是:

命题4微分同胚是等距映射的充要条件是:在每点处可选取f的局部表示，使关于f对应的点有相同的局部坐标且

可以看出，等距映射一定是仿射同胚。然而，等距的要求要强得多：意味着M与的度量完全相同，因而所有基于度量的性质都是相同的；可以说，M与实质上是同样的Riemann流形，或者说，它们只是同一个抽象的Riemann流形的不同模型而已。

若M与是R3中的曲面，则从M到的等距映射通常称为变形，这意味着在不发生伸缩变化的条件下改变曲面形状，在变形后的曲面上测得的长度、角度、面积、测地曲率及Gauss曲率等都不会改变；简言之，变形不改变曲面几何，无论我们怎样卷曲一个柱面，生活于其上的2维智能生物都不会觉察到它的“世界”的几何学有丝毫变化。

不能互相变形的曲面必定具有不同的度量，度量不同的曲面有着本质的差别，这似乎纯粹是一个几何学命题，实际上也具有非常直观且非常现实的物理学意义。例如，有经验的工程人员都知道，用金属薄板卷成一个圆筒是较为容易的，而要制作一个半球面就不太容易，因为需消耗很大能量来改变板材的局部度量，球面不能变形为平面(即使局部地) 这一事实还导致如下结论：不存在一种地理制图法，使得地图上各部分能按同一尺寸比例绘制，因而严格说来任何地图在尺寸比例上都是失真的!

判定两曲面是否等距有重要的理论与实际意义。一般来说，决定两曲面不等距要简单些：指出两者的内在性质有一项差异就足够了。例如，Gauss曲率不同的曲面绝不会等距；特别，半径不同的球面是不能互相变形的。另一方面，要肯定两曲面等距并不总是容易的，须知，等距的曲面可能在外形上差别甚大，倘无细致的解析论证，仅凭直观的考察是难以作出判断的，为应用方便,给出由4推出的以下判别法。

命题5若曲面M与分别有参数(u，v) 与使得对应是一个微分同胚(即双方为映射的参数对应)，且在此参数对应下有分别为M与的第一基本形式，则M与等距同胚。

等距概念有一个十分自然而又意义重大的应用.设是一个微分同胚，是一个Riemann流形，则依(1)在M上定义出一个Riemann度量g，使得(M，g)通过f与等距。如此定义的g称为由f 从诱导的Riemann度量，注意此处与定义3不同的是，M上可能未曾定义过度量，或者即使已有度量，也与此处的g没什么关系。

诱导度量概念可从以下模型得到直观说明：设想我们要测量圆柱面上一曲线C之长，但尚未找到测量方法，甚至不知道对C的长应如何定义，则可将C染上颜色,然后将圆柱面在平面上滚动，使C印出一条平面曲线C，自然就以C1的长度作为C的长。上述程序无非是将平面的度量诱导到圆柱面上。

诱导度量概念是构造Riemann流形模型的一个有意思的工具，它往往导致一些饶有趣味的结果。