第二型曲线积分_关于坐标的曲线积分

第二型曲线积分

关于坐标的曲线积分

第二型曲线积分亦称关于坐标的曲线积分，是一种与曲线定向有关的曲线积分，与第一型曲线积分相比，从物理意义上，可以看出两种曲线积分是不同的，尽管它们都是沿着曲线的积分，但第一型的与方向无关，第二型的与方向有关。第二型曲线积分在向量场理论中还有许多应用。

第二型曲线积分的物理意义

第二型曲线积分的物理背景是变力沿曲线做功。

空间中有一变力F(x，y，z)=(P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z))作用在某质点上，使其从某一曲线L的端点A，沿着L移动到另一端点B，求该力做功多少？

显然在L上取一有向弧微元ds=(dx，dy，dz)，则可得做功微元dw=F·ds，那么力F移动质点从A到B所做的功为，若用坐标表示，则成为

这种类型的积分称为第二型的曲线积分。

第二型曲线积分的定义

定义1设函数P(x，y)，Q(x，y)定义在平面有向可求长度曲线L上，对L的任意分割T，它把L分成n个小弧段：在每个小曲线段上任取一点，若极限

存在，且与分割T和点的取法无关，其中||T||是各小弧段长度的最大值，则称此极限为函数P(x，y)，Q(x，y)沿有向曲线L上的第二型曲线积分，记为

或

定义2 设L为空间内一条光滑有向曲线，函数P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在L上有定义，则可以定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分，并记为

第二型曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2，且 (i=l，2)都存在，则

(2)设L是有向曲线弧，-L是与L方向相反的有向曲线弧，则

(3)若存在，则也存在，且

第二型曲线积分的计算

转化为定积分，要注意的是：二型线积分的起点，对应定积分的下限，终点对应定积分的上限，即若曲线

则

参考资料

最新修订时间：2022-08-26 11:01

条目作者

概述

第二型曲线积分的物理意义

第二型曲线积分的定义

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