磁子是用来描述基元磁体的类似电子的物质，与某种原子模型有关的磁学理论自从1903年起就由英国物理学家J.汤姆逊、W.佛科、P.魏斯等人发展起来。

在魏斯看来，我们应该有用于描述基元磁体的类似电子的“磁子”一词，使大钢棒磁化是由俄亥俄州立大学的S.J.巴涅特和L.J.H.巴涅特夫人首先用实验证明的，他们于1914年12月把这一发现送交美国物理学会。巴涅特解释说：“如果磁子有角动量，那么磁子将会有取向的变化，以便使它的转动方向跟根强迫转动的方向更加接近一致。”他于1915年期间对于转动速度和所产生的磁的强度的比率作了更好的测定。

德国物理学家斯特恩和W.革拉赫的研究实验给出了磁子存在的直接证据。他们发现了质子磁矩，并于1943年获诺贝尔物理学奖。

光格中玻色－爱因斯坦凝聚(the Bose－Einstein condensate) (BEC)已吸引了越来越多的注意力，研究者发现了很多奇特的现象。由于光格中BEC能解放自旋自由度，因此是个很好的自旋系统，被称为旋量 BEC 自旋系统。其研究内容极其丰富。

在一定条件下可以形成磁孤子，在周期性条件下还有椭圆函数波解等。一般而言，对自旋系统多用传统的磁固体材料和所谓的Ising 模型来研究。然而固体自旋系统有明显的缺陷：其参数不易调节，冷却时的热过程不能完全忽略，材料缺陷和杂质的影响也要考虑等。但如果改用光格中的 BEC 来替代传统固体材料，则可以避开上述难以克服的困难。而且，因其能解放自旋自由度， 可以观察到许多诸如自旋畴壁(spin domains)和织构(textures) 等许多新的现象。另外，交叉激光束形成周期性可调势阱，可以冷却和捕陷原子，因而可以对冷原子进行细致研究，光格中的BEC参量高度可调，拥有传统自旋系统无法比拟的优势，因此，激光冷却捕陷原子的方法在科学研究中被广泛应用。

跟传统磁阱中的原子一样，光阱中的原子的微观行为可以等效为一系列的小磁针，数学上用等效磁偶极子来描述。这些磁偶极子在外磁场作用下会感受到拉力。可以据此设计磁阱来捕陷原子。详细研究光格中冷原子磁矩的物理机制和解析表达式意义重大。

理论和实验都表明，陷在一维光学势中的旋量BEC会经历一个铁磁相变过程和因磁偶极相互作用而自发磁化过程。这类似于固体物理中的铁磁相变，不同之处在于此处是玻色子而非费米子。文献中详细研究了这类磁子的解析解。本论文按文献的思路求磁子，表达式有些不同。

在外磁场(包括环境磁场) 小于临界值时，产生自发磁化，有自发磁矩，这是发生相变，即产生铁磁相的临界点。这相当于固体材料在居里温度以下产生自发磁化。但显然，物理机制完全不同，在这里自旋之间是靠长程偶极相互作用，冷原子是玻色子。与描述固体材料中自旋链的伊辛模型(Ising Model)不同，一维情况下也有自发磁化。而传统的伊辛模型一维情况下无此类解(自发磁化)。

所谓居里温度，就是铁磁材料由一般相转变为铁磁相产生自发磁矩的临界温度。或者说，居里温度是指材料可以在铁磁体和顺磁体之间改变时的温度。低于居里温度时该物质成为铁磁体，此时和材料有关的磁场很难改变。当温度高于居里温度时，该物质成为顺磁体，磁体的磁场很容易随周围磁场的改变而改变。可见，光格中的

BEC在外磁场(包括环境磁场)中有铁磁性。在这里，把光格中 BEC 的自旋自发磁化做些经典处理，并与铁磁材料比较，能得到一些有用的结果。

过去20年里，控制或设计电磁波(光波)在材料中的传播性质，已经成为物理、化学、材料和通信等领域的研究热点。如果材料中的介电常数周期性变化，光波与周期结构相互作用后会产生光子禁带，能量禁带中的光波不能在材料中传播，这种周期性电介质材料就是光子晶体(photonic crystals)。通过设计光子晶体的周期结构或引入缺陷，可以人为地调控光子的流动；另一种与光子晶体性质相似的人工材料为声子晶体(phononic crystals)，声子晶体中用声波输运信息，而不是光波；光波也可以在磁性-光子晶体(magnetoPCs)中传播。

1988年发现巨磁阻效应(giant magneto-resistive)后，人们对改变磁性材料的性质产生了极大兴趣，并进行了大量的理论计算和实验研究。研究发现: 自旋波(磁子)在一些磁性结构中的传播性质，与电磁波在光子晶体或声波在声子晶体中的传播性质类似，这种新型周期性排列的人工磁性材料被称为磁子晶体(magnonic crystals)。通过调节材料的组成、晶格常数、填充率及外加磁场等，可以使某些频率的自旋波，不能在磁子晶体中传播，即出现磁子禁带(magnonic bandgaps)。

磁子晶体与其它人工材料相比，具有以下特点和优势: (1) 在磁子晶体外部施加磁场，仅通过控制外加磁场，可以较大幅度调节自旋波的波长和传播性质，这是光子晶体和声子晶体比较难实现的；(2) 自旋波的传播速度，比电磁波的传播速度小很多，而且自旋波在磁子晶体中传播时，可能获得更宽的磁子禁带；(3) 自旋波的波长比同频电磁波的短，磁子晶体制作的元件有希望实现更小型化的器件，如谐振器、滤波器、高速开关、定向耦合器等；(4) 磁性材料具有记忆和存储等特殊性质，可以用于制作磁随机存储器和磁盘等磁性器件；(5) 将磁子晶体引入互补金属氧化物半导体(CMOS)电路后，不但可以提高CMOS电路的集成度，而且能减小传统集成电路的功耗，并用自旋波传输和处理信息。

在以往的磁子晶体研究中，既有理论计算、计算机仿真，也有实验、制备方法及应用等方向的研究。磁子晶体分类方式很多，根据空间维数的不同，可以将磁子晶体分为一维(1D)、二维(2D) 和三维(3D) 磁子晶体。例如，结构方面有一维纳米条纹周期阵列和点阵、二维和三维结构、蜂窝结构或连续的环结构等研究。研究方法方面，既有借鉴光子晶体的研究方法，又有其独特特点；在其制作方面，还面临很多挑战。研究从磁子晶体的理论基础出发，回顾了不同维数磁子晶体的研究历程，分析了磁子晶体研究进展和主要研究方向，指出了研究中面临的挑战，并对其发展前景进行了展望。

光子晶体的调控对象是电磁波，光子能带理论是矢量波满足的麦克斯韦(Maxwell)方程组；而磁子晶体的调控对象是自旋波，在不考虑阻尼效应的情况下，自旋波在磁性材料中的传播满足Landau-Lifshitz方程。

在特定的条件下，根据不同的计算方法解LL方程，可以得到自旋波的能带结构；此外，对平面内磁化的薄膜材料来说，只需用静磁近似解Maxwell方程，即可得到其能带结构；在磁性非均匀的系统中，动态磁场满足Walker方程，自旋波的运动较复杂。

计算自旋波能带结构最常见的方法是平面波展开法(the plane wave method)，这种方法的不足是当磁子晶体的结构复杂或存在缺陷时，可能受计算会受到限制或难以精准计算，此时可采用动力学矩阵法(the dynamical matrix method)。另外，计算磁子能带结构的方法还包括：格林函数法(the Green function method)、平均值法(the averaging methods)及近似值法等。

与光子晶体不同，磁子晶体中传播的是自旋波，它可以按波长的数量级分为：偶极作用或交换作用自旋波。二者实质不同：交换作用是短程的，而偶极作用是长程的。一般地说，当波长大于1 μm时，自旋波的色散受偶极作用控制；当波长小于1 μm时，交换作用变得重要，这时要考虑偶极和交换共同作用的自旋波；当波长小于100 nm时，自旋波的色散由交换作用控制。由于交换作用，使长程偶极作用使因磁性差异产生的禁带减小。

对平面内磁化的薄膜材料来说，研究时只考虑静磁表面自旋波(MSSWs)，用静磁近似解Maxwell方程可得其能带结构。虽然静磁近似随波长的减小而改善，但是受交换作用的限制，不再适应用Maxwell方程求解波的运动。在给定结构中，自旋波激发的类型由外加场相对自旋波传播的方向决定。图1为在薄膜中激发的三种不同类型的自旋波-静磁表面自旋波、前向体静磁自旋波(FVMSWs)和后向体静磁自旋波(BVMSWs)-的波矢与外加场相对方向的示意图。

为了便于叙述，研究按照不同维数磁子晶体的研究历程展开，对一维、二维和三维磁子晶体的典型结构进行介绍，包括实验方法、计算方法和制作技术等。

（1）一维磁子晶体

一维磁子晶体是由单一磁性条纹密堆积而成的周期阵列。Gubbiotti等通过深紫外光刻技术和沉积技术制作了镍铁导磁合金(permalloy，Py)纳米条纹阵列，并用布里渊光散射(BLS)实验测量了结构中的磁化运动。图2为非均匀和均匀条纹阵列的示意图、BLS 光谱的扫描电镜图和模拟动态磁化分布图，可以看出色散曲线中包含几种混合的自旋模式；Kostylev等研究了自旋波在上述均匀阵列中的传播，发现自旋波光谱中局部存在禁带；而Chumak等通过电子束刻蚀、分子束外延生长和沉积过程在Si基上制作了锯齿状Py条纹，并调节外加场可以改变禁带的性质；Chi等则改变了组成材料，研究了钇铁石榴石(YIG)条纹阵列中的磁静态体波(MSVWs)的传播性质。

（2）二维磁子晶体

1996年，Vasseur等率先研究了由EuO/Fe和Py/Co组成的二维磁性结构中自旋波的传播，后来称这种结构为二维磁子晶体。而Ma等将组分材料变为Fe/YIG，并用微磁仿真模拟了自旋波在该结构中传播的光谱，他们又分别用实验和理论对该结构进行了详细的研究，在计算得到的频谱图和自旋波的色散曲线中得到约10 GHz宽的磁子能带。Mandal等研究了孔阵中光学诱导的磁化运动，实验过程中固定Co薄膜中孔的直径，但是改变晶格常数(纳米量级)，观察发现，自旋波的旋进模式中存在禁带。

（3）三维磁子晶体

受制作技术的限制，对三维磁子晶体的研究还很少，且多为理论研究。Krawczyk和Puszkarski用平面波展开法和线性近似值法处理三维磁子晶体的自旋波光谱。计算结果表明，这种结构的磁子光谱中存在禁带。后来他们又用平面波展开法计算了由两种不同的铁磁材料组成的三维磁子晶体中的自旋波光谱。

Romero等用平面波展开法计算自旋波在三维磁子晶体，传播过程中的色散和衰减，发现通过改变晶胞内自旋波振幅的空间分布，可以有效地减小自旋衰减。Mamica等用平面波展开法计算了三维磁子晶体中自旋波的传播，通过控制组成材料和晶格常数，可以调节磁子禁带的宽度和中心频率。