矛盾方程(contradictory equation)亦称矛盾等式，是一种特殊方程，即无解的方程。它有以下两种形式：1.数值矛盾方程的意义是：在求解范围内没有解(或说解集是空集)的方程称为这个范围的矛盾方程。例如x2+1=0在实数范围内是矛盾方程，2x+1=0在整数范围内是矛盾方程，一个方程是否为矛盾方程同求解的范围有关，扩大求解的范围，矛盾方程可能转化为非矛盾方程；2.矛盾方程也泛指在求解范围内无解的一般数学方程，如逻辑方程：p∧¬p=1(真)是矛盾逻辑方程，x∪1=0是矛盾布尔方程。

一个方程的解的全体所组成的集合叫做这个方程的解的集合，简称解集。若方程无解，解集就是空集。无解的方程叫做矛盾方程。

方程的解(solution of equation)是能使方程左右两边的值相等的未知数的值，称为方程的解。一元方程的解也称方程的根，一个方程的解的全体所组成的集合，称为这个方程的解集。

方程的解有三种情况：

(1)方程的解是有限个特定的数；

(2)方程的解是无穷多个数，这里又有两种情况：一是如 的解为 ，但不是一切未知数的允许值都满足方程；二是方程的解集与未知数的允许值的集合相等，这样的方程即为恒等式；

(3)方程无解，如 ，这样的方程称为矛盾方程。

方程是否有解或有几个解，与未知数所在的数域有关。如方程 ，在有理数城内无解，在实数域内有两个解 ，在复数域内有两个解 。求出方程的解集的过程叫做解方程，如果方程无解，则其解集为空集。

方程(equation)亦称方程式，数学的一个重要概念和研究对象，一般指含未知数或变数的等式，不仅指代数方程。

1.在初等代数中，只论代数方程，含有未知数的代数式的等式称为方程。按方程的解的状况，常把方程分为三类：

1) 条件等式方程，例如，方程，就是满足这个条件的等式。普通所说的方程，常指的是这类。

2) 矛盾方程，例如，方程，无论x取什么数值，都不能使这个等式成立。

3) 恒等方程，例如，方程中的未知数x，可取一切数值，等式恒成立。

2.在解析几何中，在平面或空间建立某种坐标系后，几何图形(例如曲线和曲面)常可用点的坐标所应满足的一个或几个方程来表示，例如在空间直角坐标系中，平面由一个三元一次方程表示，直线由两个三元一次方程表示。

3.在现代数学中，把含变元的等式称为方程。例如，变元为未知函数的微分方程

变元X为未知集合的集合方程；变元x为未知命题的逻辑方程等。

在中国，方程的名称来源于《九章算术》，该书的第八章名曰《方程》。刘徽在注释中说：“程，课程也，群物总杂，各列有数，总言其实，今每行为率.二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”按刘徽的意义，方程是按照一定的规程进行实验考核(课)而得到的数学模型一一筹码方阵一一相当于今天线性方程组的增广矩阵。刘徽还在方程术中叙述了解方程(变换筹码)的遍乘法与直除法，即现代的用非零数乘一个方程及将一个方程的若干倍加入另一个方程消元。现在的方程一词是清朝初期翻译外文名equation(等式)时借用古名而得.英国博物馆保存有公元前20世纪古埃及的珍贵文献莱因德纸草书，相传它是阿梅斯(Ahmes)抄写，其中有一个用象形文字书写的方程题目：

它经埃森洛克(A.Eisenlokr)破译，题意为：“有一堆，其三分之二，其一半，其七分之一及其全部，共为三十七，求一堆之数。”用现代的写法便是

这是迄今发现的最早的方程。以后，丢番图(Diophantus)、卡尔达诺(G.Cardano)、韦达(F.Viete)等人各用不同的符号表示方程，直到1637年，笛卡儿(R.Descartes)在《几何学》中用表示方程。他还把未知数和常数通过有理运算和开方所组成的方程称为代数方程，非代数方程称为超越方程。在方程中笛卡儿首先采用拉丁字母的后面几个字母来表示未知数。