白正国（1916），教授，浙江平阳人。1940年毕业于浙江大学数学系。1956年加入共产党。曾在浙江大学讲师、副教授。建国之后，历任浙江师范学院副教授，杭州大学副教授、教授、数学系主任，中国数学学会理事和浙江分会副理事长、理事长。专于微分几何。在射影微分几何、大范围微分几何黎曼几何等方面有所建树。解决了富比尼提出的射影曲面存在的问题，得出如果一个曲面有一族且只有一族渐近曲线是射影等价的，则它们必须属于线形丛，其逆亦真的结果。撰有《关于一族渐近曲线是射影等价的曲面》等论文。

1916年12月17日，白正国出生在浙江省平阳县腾蛟镇的一个小商家庭里，父亲在镇上开了一个中药铺。3岁时父亲不幸去世，药铺也就停业。母亲带着他与哥哥迁回湖窦村的祖屋，一家三口艰苦度日，相依为命。8岁时就读于湖窦村惟一的一所初级小学。全校只有一位老师，并班上课，主要学习语文。教材除小学语文课本外，有时也选读《古文观止》和《左传》的一些文章。三年级时，学校添聘了一位教师，于是才开始学习四则运算。白正国以他敏捷而正确的运算能力经常博得老师的表扬。从此他更加用功读书。

1933年初中毕业后，因家境贫寒，白正国无力再上高中，只得接受腾蛟小学的聘书，准备当一名小学教师。就在上任前夕，突然接到一封通知信，说白正国在当年全省初中应届毕业生会考中，成绩特别优异，名列全考区甲等第一，被在温州工作的平阳同乡们所赞誉，其中有些人愿意赞助他继续升学。这样，白正国才得以免试进入温州中学高中部读书。因为有了这样的荣誉，白正国在三年高中阶段处处受到老师和同学们的关注，迫使他学习上特别刻苦努力，日常生活中规规矩矩，不敢马虎。在各门课程中，他对数学最感兴趣。三年中他看了许多参考书，自学了微积分与射影几何。其中对严济慈的《几何证题法》和Salmon的“Conic Sections”两书特别感兴趣。当时，有一位留学过日本的数学老师对白正国的爱好数学非常关心，有一次对他说：“你们平阳出了两位著名的数学家姜立夫和苏步青。”又说：“苏步青和陈建功都是留学日本的，在日本时就很有名气。他俩都在浙江大学任教授。你既然喜欢数学，毕业后可以去考浙江大学数学系。”这些话对白正国以后的数学生涯起了重要作用。

1936年，白正国报考国立浙江大学数学系。在“求过四定点的抛物线”的考题中，他正确解出了两条抛物线，引起了苏步青教授的关注。当时竺可桢任校长，校风严谨。竺可桢聘用教授相当严格，全校教授为数不多，其中以苏步青和陈建功的声望最高。他们俩曾约定，决心要在浙江大学办一个世界一流的数学系；所有重要的数学课程都由他俩亲自讲授。四年的大学学习，使白正国打下了扎实的数学基础，并具备了从事科学研究的能力。

1937年，抗日战争爆发。是年冬天，浙江大学开始辗转内迁。最后于1940年迁到贵州遵义，次年理学院又迁至贵州湄潭。白正国在遵义毕业后，留校任助教。执教之余，选定射影微分几何为研究方向。其时，白正国的老师苏步青在射影微分几何方面的研究已具有国际声誉，尤其在射影曲线论方面形成了有自己特色的理论。射影微分几何这一研究领域的重要奠基人之一是意大利著名数学家G.Fubini，他和其他在这一领域工作的学者所著的书和发表的文章，大多是用意大利文和法文写的。鉴于阅读文献的需要，白正国开始学习意大利和法文。

从1941年起，白正国发表了一系列关于射影曲面论方面的文章。这些文章都是在抗日战争进行多年、各方面条件及其艰苦的环境中完成的。他的第一篇论文发表在中国数学会主办的《科学记录》上，该杂志是当时我国出版的可以发表数学论文的惟一的一种学术刊物，采用英文发表，品位算是高的。可是由于物价飞涨，竟不能用起码的新闻纸印刷，而是用粗糙的土纸印刷。白正国至今还珍藏着这篇用土纸印刷的论文单行本。

由于白正国在数学研究上的出色成绩，1943年他被浙江大学聘为研究助教。当时抗日战争正在进行，各方面条件都很艰苦。具白正国本人回忆，他做助教第一个月的工资是70元，学校按月扣除10元抵还他读书时向学校借的贷金，实发60元。白正国托人到贵阳买了一个2磅热水瓶花去30元，买了12尺白竹布做床单花去10元，剩下20元只能勉强吃饱饭。那年头物价飞涨，工业品极贵，拿到的工资只能勉强吃饱穿暖而已。但即使在这样困难的条件下，浙江大学在竺可桢校长的领导下，对科研十分重视。当时内迁在昆明的由北京大学、清华大学和南开大学联合起来的西南联合大学设有“研究助教”一职。竺校长借鉴此况，聘白正国为研究助教，以让他集中精力搞好科学研究。这是浙江大学的唯一的一例。

由于国内发表论文的条件太差，白正国只得把论文航寄到美国去投稿。但抗日战争时期邮路不畅，没有回音。直到1945年抗日战争胜利结束后，白正国才从美国“数学评论”（Math.Revi.）的微缩胶卷上得知自己的好几篇论文已经发表在美国数学会的杂志上。浙江大学因此向在重庆的教育部申请晋升白正国为讲师。那时国立大学的教师晋升等级都要向教育部提出申请，批准后发下证书。苏步青和陈建功被聘为“部聘教授”，算是教授中最高的荣誉，能获此殊荣的教授为数极少。

抗日战争胜利结束后，中美开始通邮。白正国发表在美国的近10篇论文的单行本也陆续寄来。这些反映白正国多年研究成绩的实物凭证，使他在浙江大学的学术声誉大为提高。1948年，浙江大学提升白正国为副教授。一个没有出国留过学的大学毕业刚8年的年轻人被晋升为副教授，这在当时的浙江大学是非常少见和十分不易的。

1952年，全国高校院系调整，白正国被安排到新成立的浙江师范学院数学系工作。当时数学系条件很差，不但师资不足，图书设备陈旧，数量又少，根本没有办法做科研，甚至连开设高年级课程的师资和条件都成问题。白正国担任几何教研组组长，主持组织读书报告讨论班，硬性规定每一个教师都要参加报告。经过他几年的苦心经营，教师水平都有了较大提高，学风也大为改进，为后来的杭州大学数学系的发展打下了基础。

1958年．杭州大学新成立，陈建功教授被任命为杭州大学副校长，白正国任杭州大学数学系主任。同年，浙江师范学院与杭州大学合并，定名杭州大学。白正国参与合并后的数学系的领导工作。他对教师的进修与培养非常关心。他自己也开始转向黎曼几何的研究。1962年，经国务院批准，他开始招收三年制研究生。为响应国家加强基础理论建设的号召，当年他和陈建功教授各招收了5名研究生。以后又陆续招收研究生。他所培养的这些研究生，如今不少已成为卓有成就的骨干教师，如杭州大学博士生导师沈一兵教授，南昌大学数学系主任欧阳崇珍教授，杭州师范学院图书馆馆长蔡开仁教授等。

“文革”期间，白正国受到冲击，研究生停招，科学研究横遭批判。这期间他曾经参加浙江省气象局的台风路径数值预报的研究工作，研究小组集体发表了一篇论文，获浙江省科委颁发的二等奖。粉碎“四人帮”之后，在复兴杭州大学数学系的过程中，年届花甲的白正国又受命出任数学系主任。1982年起改任名誉系主任。1978年白正国被批准招收三年制硕士学位的研究生；1981年国务院学位委员会又第一批批准白正国为博士生导师。1991年获国务院颁发的政府特殊津贴。经国家人事部批准，白正国被杭州大学聘为终生教授。

白正国的成名之作是在40年代初解决了射影微分几何中著名的Fubini问题。

在30-40年代，以苏步青为首的浙大射影几何学派是与当时的意大利学派、美国学派三足鼎立的举世公认的学派，白正国便是这个学派的代表人物之一。当时在射影微分几何方面有一个引起国际数学界注意的问题：是否存在曲面，它的一族渐近曲线是互相射影等价的？问题的起因来自德国著名数学家W.Blaschke的一个定理：若非直纹曲面有一族渐近曲线属于线形丛，则此族是射影等价的。意大利著名数学家G.Fubini研究了Blaschke定理的逆问题，即如果一族渐近曲线是射影等价的，则此族是否必属于线形丛？Fubini自己解决了当曲面为直纹面时的情况，得到了问题的肯定回答。由此，Fubini提问：除了一族渐近曲线属于线形丛的曲面以外，是否还有非直纹面的曲面，它的一族渐近曲线是互相射影等价的？这个难题被称为Fubini问题。白正国经过潜心研究，终于圆满地解决了此问题。回答也是肯定的，即：除了有一族渐近曲线属于线形丛外，还存在且只存在一种特殊的射影极小曲面（projective minimal surfaces of concidence），它的一族渐近曲线是互相射影等价的[3]。对白正国的这一结果，G.Fubini来信大加赞许，并要求杂志社提前发表白正国的论文。后来，这一成果被载入由Terracini执笔的“Fubini传”中。苏步青教授在专著《射影曲面概论》中对他的得意门生的这个成果也以专题作了详细介绍。此外，白正国在射影微分几何的曲面论方面还有许多独创性的工作。例如关于Moutard二次曲面，Godeaux二次曲面序列等，并对直纹空间中曲面的射影理论作了系统性的研究，完成论文近10篇，先后发表于40年代美国数学会的有关杂志上。

从50年代起，白正国转入一般空间的微分几何学的研究。1957年，他发表了论文“关于空间曲线多边形的全曲率”[12]，推广了著名的W.Fenchel定理，其结果如下：设C是空间一曲线多边形，具有内角θ1…θn，则它的全曲率满足下列不等式：

其中等号当且仅当由凸曲线弧连接而成的平面曲线多边形时成立。在空间曲线的整体微分几何中，这是一个非常简洁而有鲜明几何意义的不等式。它被载入《中国数学十年》一书，也被《中国百科全书》数学卷所提及。

1962-1966年期间，《数学学报》在杭州大学设立编辑部，由白正国负责。1965年在制定国家十二年科学规划中，杭州大学数学系的几何学和函数论都成为有关该项目的重点执行单位之一。

在黎曼几何方面，白正国完美地解决了日本著名几何学家矢野健太郎（K.Yano）提出的存在若干独立保圆变换的黎曼空间的尺度形式问题[20]，这是保圆几何中一个关键性的基本问题。1980年，由著名数学大师陈省身教授倡导的“双微”（微分几何与微分方程）会议第一次会议在北京召开，出席会议的法国著名几何学家M.Berger曾向白正国索要这个成果的论文单行本。此外，白正国还研究了黎曼空间中子流形的Codazzi-Ricci方程与Gauss方程的相关性[21]，共形平坦黎曼空间及常曲率空间的曲率张量的特征[23]，共形平坦黎曼空间中的共形平坦超曲面等[24]，先后在国内各大数学杂志上发表论文10余篇，得到了许多重要结果。粉碎“四人帮”后，白正国的研究方向又从黎曼流形的局部性质转向整体性质。他对拟常曲率流形做了系统的研究，得到不少精彩的结果。例如，他证明了：可以等距嵌入两个不同常曲率流形的黎曼流形必是拟常曲率流形，其逆亦真[25]。这是一个前所未知的有趣定理。后来，巴西著名几何学家M . do Carmo也独立地得到了类似的结果。另外，白正国的整体子流形几何方面也给出了不少很好的定理[26][27]。

白正国在学术上成就卓著，在教学和培养学生上兢兢业业。早在老浙大期间，当抗日战争胜利结束苏步青被派去台湾接管台湾大学时，他就担当起苏步青当时所授的两门主要课程“微分几何”和“坐标几何”的教学。1946年，浙江大学迁回杭州，苏步青自己讲授研究生的高等微分几何课和主持“讨论班”甲、乙等课程，那两门课仍由白正国讲授，直至1952年全国高校院系调整为止。这期间听过白正国课的学生，有中科院院士谷超豪与王元，美籍数学家杨忠道教授，浙江大学博士生导师董光昌和郭竹瑞等。

1952年，全国高校院系调整后，白正国在浙江师范学院数学系一面执教，一面培养教师队伍。那时正值大力提倡向苏联学习，白正国翻译了俄文的几何教材为教师讲课。由于他在教学和科研工作上成绩突出，受到浙师院领导的重视，于1956年被评为浙江省先进工作者。1956年白正国加入中国共产党。在1958－1966年期间，白正国继续组织教师举行文献报告会，并在课余为教师讲授“微分方程”等课程。他在参与数学系的领导工作期间，对教师的进修和培养非常关心，特别是对年轻教师的培养与提升尤为关注。他的想法和建议经当时的系党总支领导的认可后，大部分都能付诸实施。例如，有一次教师调整工资，他认为有一位教师科研成绩突出而工资偏低，主张给这位教师连升两级。但上面不同意，认为全省无此先例。后来白正国通过系党总支，经过两次的坚决要求，终于被上面批准了。

正是由于白正国和陈建功的努力，杭州大学数学系在“文革”前夕，已从开课都成问题的极差境地发展成为有相当规模、教学和科研达到一个新阶段、可跻身于国内名牌大学数学系之列的水平了。

“四人帮”被粉碎以后，白正国带领杭州大学数学系重整雄风。他不仅继续倡导“老浙大”苏步青、陈建功的优良学风，而且身体力行，积极培养和发展学术阶梯。经国务院批准，他招收了硕士学位和博士学位研究生。杭州大学是省属重点大学，研究生生源受到较大影响。一般说，录取的研究生起点水平没有重点高校的高。但由于白正国对研究生要求非常严格，注意打好扎实基础和训练独立科研能力，加上研究生们也能很好配合，多年来微分几何方向的研究生都十分用功，因此毕业的硕士生和博士生都能达到合格的水平。有的还是相当优秀的，受到了国内同行的赞誉。例如，硕士生王国芳，博士生莫小欢、东瑜昕、朱小华、傅吉祥等，毕业后都做出了可喜的成绩，为整体微分几何这一研究领域增添了光彩。他虽年届九旬，但仍继续与沈一兵一起培养硕士和博士研究生。

白正国除曾任杭州大学数学系主任、名誉系主任，杭州大学学术委员会副主任，浙江省政协委员等外，还担任过多种社会学术职务：《数学年刊》编委，《数学研究与评论》学术顾问，中国数学会理事，浙江省数学会理事长、名誉理事长，全国高校理科教材审编委员会委员、几何拓扑组组长，《中国大百科全书》数学卷编委，第二次“双微”国际讨论会组织委员会委员，1987年“南开数学所”几何年组织委员会委员，浙江省科学技术委员会学术委员等。1986年获浙江省科委优秀论文一等奖，1987年获浙江省教委自然科学研究一等奖，1990年获国家教委科技进步三等奖，1995年获国家教委高校优秀教材二等奖等。

白正国为人正直，谦虚诚恳，治学严谨，一丝不苟。平时虽讲话不多，却处处以身作则，勤奋踏实。正如中科院院士、复旦大学教授谷超豪与胡和生在庆贺白正国八十华诞的贺信中所写：“1952年院系调整后，浙江省的数学研究和教学遇到一定困难，您继续发扬浙江大学数学系原来的精神和风格，和同事们一起奋斗了40多年，在杭州大学建设了一个高水平的数学系，成为我国数学研究和培养人才的重要基地之一，这是您的重要贡献。您一贯坚持微分几何的研究，早期在射影微分几何方面做了很出色的成果。近年来适应国际发展潮流，在领导研究和培养人才方面又取得很大成就，优秀中青年人才不断成长，成为整体微分几何方面的坚强的新生力量。您诚恳谦虚，实事求是，专心致志于学术，具有中国知识分子的传统美德，发扬这种美德，对于今天的中国是十分必要的。”

白正国虽已90高龄，但仍身体健康，精神抖擞，一如既往地投身于教学和社会活动，继续为我国的数学教育和人才培养贡献余热。

[1] On the quadrics of Moutard, Univ.Nac.Tucuman.Revista A. 2（1941）.67-77.

[2] An analogue of Darboux pencil of quadrics. Acad.Sinica Science Record 1, （1942）.65-69.

[3] On the surfaces whose asymptotic curves of one system are projectively equivalent. Univ. Nac.Tucuman.Revista A. 3（1942）.341-349.

[4] A transformation of Jonas surfaces. Bull.Amer.Math.Soc. 49（1943）. 793-796.

[5] The projective theory of surfaces in ruled space.I. Amer.J.Math. 65（1943）. 712-736.

[6] The projective theory of surfaces in ruled space.II. Amer.J.Math. 66（1944）. 101-114.

[7] A generalization of associate quadrics of a surface. Amer.J.Math. 66（1944）. 115-121.

[8] A new definition of the Godeaux sequence of quadrics. Amer.J.Math. 69（1947）. 117-120.

[9] Some theorems on rectilinear congruences and transformations of surfaces. Trans.Amer.Math. Soc. 65（1949）. 360-371.

[10] On the integral curvature of a closed space curve. （Chinese） Acta Math.Sinica, 6（1956）. 206-214.

[11] On the equations of structure of a Riemannian space. Sci.Record, 1（1957）. 199-203.

[12] On the integral curvature of a curvilinear polygon. （Chinese） Acta Math.Sinica, 7（1957） 277-284

[13] On the integral curvature of a curvilinear polygon. Sci.Sinica, 7（1958）.11-18.

[14] On the differential geometry in the large of closed curves on a surface. Sci.Sinica, 13（1964） 1725-1734.

[15] Local isometric imbedding of Riemannian manifolds Mn into a space of constant curvature Sn+1, Chin.Ann.of Math.3（1982）. 471-

[16] On the conformal invariants of an n-dimensional Riemannian manifold Mn immersed in an （n+m）-dimensional Euclidean space En+m, Proc. Symp.of DD2, 1983.

[17] On the metrics of the Riemannian manifolds which admit isometric imbedding into space of any constant curvature, Chin.Ann.of Math.6（1985）.

[18] Minimal submanifolds in a Riemannian manifold of quasi-constant curvature, Chin.Ann.of Math. 9B（1988）.

[19] 可容纳n重正交超曲面系统的黎曼空间Vn的一些性质，数学学报，12（1962）

[20] 存在若干独立保圆变换的黎曼空间，数学学报，14（1964）.

[21] 黎曼空间中子空间的柯达齐-利齐方程和高斯方程的相关性，数学学报，14（1964）

[22] 常曲率空间作为共形可分离的曲率张量的特征，数学学报，15（1965）

[23] 共形平坦黎曼空间及常曲率空间的曲率张量的特征，数学进展，9（1966）

[24] 共形平坦黎曼空间的共形平坦超曲面，杭州大学学报，3（1966）

[25] 拟常曲率黎曼流形在常曲率空间中的等距嵌入，数学年刊，7A（1986）

[26] 常曲率黎曼流形的极小子流形，数学年刊，8A（1987）

[27] 关于拟常曲率流形中子流形的不等式，数学年刊，9A（1988）

[28] 紧的黎曼流形的调和形式，数学年刊，11A（1990）

[29] 《黎曼几何初步》, 高等教育出版社, 1992年第一版, 2004年修订版. （与人合写）