球函数(spherical function)通常指连带勒让德方程的解，亦即连带勒让德函数。有时也把面调和函数称为球函数。在球坐标系中用分离变量法解拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程时可出现这些函数。

在函数u可能与φ角有关的一般情况下，方程▽2u=0的分离变量形式的通解为

其中

即为球函数，它满足单值、有限的自然边界条件。式中|m|≦l，Nlm为归一化因子：

连带勒让德方程是数学物理中常见的常微分方程之一。其形式为：

作变换：

又可写成：

此方程有三个奇点(±1，∞)，且均为正则奇点，故可化为超几何方程。

在球坐标系下将拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程分离变量时，可出现连带勒让德方程。

称定义在Rn的开集U上的复值函数f是调和的，如果它在U上二次连续可微，且它经拉普拉斯算子作用后为零：Δf=0。

可以证明，U上的分布T满足ΔT=0，则T是解析且调和的函数。为使在U上局部可积的函数f是调和的，必须且只须对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球含于U中的正实数α，f(a)等于f在球B上的平均值。或等于f在以a为中心、α为半径的球面上的平均值。由此容易推出： 定义在连通开集U上、使 |f|在U的一点达到其极大值的调和函数是常值函数(极大值原理)。

C之开集U上的所有全纯函数是调和的，它们的实部与虚部也是调和的。反之，如果U是C的单连通开集，则对任一实值调和函数f，存在U上的全纯函数g，使Re(g)=f。

极大值原理可推广到称为次调和函数的更一般的函数类；这是一些定义在U上、在[-∞，+∞[中取值的上半连续函数，而对U的任一点a及对任一使以a为中心、α为半径的闭球B含在U中的正实数α，f(a)小于f在B上的平均值。

R的开区间上的次调和实值函数正好是这一区间上的凸函数。

对C之开集U上的任一全纯函数f，函数log|f|是次调和的。因而C之开集U上的次调和函数的研究能应用于全纯函数的研究。将这种方法推广于研究Cn之开集U上的全纯函数情况，导致引入一个函数类，称为多元次调和函数类；这是一些定义在U上，在[-∞，+∞[中取值的上半连续函数，且对C的任一直线D，f在D∪U上的限制是次调和函数。

求偏微分方程定解问题显式解的基本方法。在解线性偏微分方程的混合问题或边值问题时，先求满足边界条件的变量分离的特解，再利用叠加原理，做这些特解的线性组合，得到定解问题的解，这就是分离变量法。

区分线性与非线性的一条基本准则。令x为系统的输入变量，y为系统的输出变量，f()为输出对输入的响应函数y=f(x)。该系统满足叠加原理，指以下两个条件同时成立：

1.可加性。f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)。

2.齐次性。f(kx)=kf(x) (k为任何常实数)。

凡同时满足可加性和齐次性要求的是线性系统，至少一个要求不满足的是非线性系统。