素数又称质数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。特殊素数包括梅森素数、孪生素数、费马素数。素数在数论中有着很重要的地位，千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究;而特殊形式的素数更是魅力无穷。虽然已经揭示了特殊素数的一些规律，但围绕着它们仍然有许多未解之谜，等待着人们去探究。以下就是几个重要的特殊素数:

1640年6月，费马在给马林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质。我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”。这封信讨论了形如2^P－1的数（其中p为素数）。早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2^P－1的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2^P－1是素数，则(2^p－1)2^(p－1)是完美数。

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2^P－1作了大量的计算、验证工作，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2^P－1是素数；而对于其他所有小于257的数时，2^P－1是合数。前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，127和257）属于被猜测的部分。不过，人们对其断言仍深信不疑，连大数学家莱布尼兹和哥德巴赫都认为它是对的。

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2^P－1型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位。可以说，梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑。由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2^P－1型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp=2^P－1。如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2^P－1型素数）。

由于梅森素数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家，如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。2300多年来，人类仅发现48个梅森素数。是否有无穷多个梅森素数是数论中未解决的难题之一。由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

美国中央密苏里大学数学教授柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于2013年1月25日发现了已知的最大梅森素数——2^57885161-1 (即2的57885161次方减1)；该素数有17425170位，如果用普通字号将它连续打印下来，它的长度可超过65公里！

梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首先给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一科研成果被国际上命名为“周氏猜测”。该猜测的内容为：当2^（2^n）＜p＜2^（2^（n+1））时，Mp有2^（n+1）－1个是素数（注：p为素数；n为自然数；Mp为梅森数）。

梅森素数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大素数的最有效途径；它的探究推动了数学皇后——数论的研究，促进了计算技术、程序设计技术、网格技术和密码技术的发展以及快速傅立叶变换的应用。梅森素数的探究需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：它的研究成果，一定程度上反映了一国的科技水平。英国顶尖科学家索托伊甚至认为它是人类智力发展在数学上的一种标志,也是科学发展的里程碑。

所谓孪生素数指的就是这种间隔为 2 的相邻素数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就象孪生兄弟一样。最小的孪生素数是 (3, 5)，在 100 以内的孪生素数还有 (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61) 和 (71, 73)，总计有 8 组。但是随着数字的增大，孪生素数的分布变得越来越稀疏，寻找孪生素数也变得越来越困难。两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5;5和7;11和13;17和19;29和31;41和43；59和61;71和73;101和103;…;10016957和10016959；都是孪生素数。截至2002年底，人们发现的最大的孪生素数是：(33218925×2169690-1, 33218925×2169690+1) ，这对素数中的每一个都长达 51090 位！许多年来这种记录一直被持续而成功地刷新着。

孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。迄今为止在证明孪生素数猜想上的成果大体可以分为两类。第一类是非估算性的结果，这一方面迄今最好的结果是1966年由已故的中国数学家陈景润 (顺便说一下，美国数学学会在介绍 Goldston 和 Yildirim 成果的简报中提到陈景润时所用的称呼是 “伟大的中国数学家陈”) 利用筛法 (sieve method) 所取得的。陈景润证明了：存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 要么是素数，要么是两个素数的乘积。这个结果和他关于 Goldbach 猜想的结果很类似。2013年前一般认为，由于筛法本身的局限性，这一结果在筛法范围内很难被超越。

Goldston 和 Yildirim 的结果把这一系列的努力大大推进了一步，并且 - 如果得到证实的话 - 将在一定意义上终结对 Δ 进行数值估算的长达几十年的征途，因为 Goldston 和 Yildirim孪生素数证明了 Δ=0。当然如我们前面所说，Δ=0 只是孪生素数猜想成立的必要条件，而非充份条件，因此 Goldston 和 Yildirim 的结果离最终证明孪生素数猜想还远得很，但它无疑是近十几年来这一领域中最引人注目的结果。

一旦 Δ=0 被证明，人们的注意力自然就转到了研究 Δ 趋于 0 的方式上来。孪生素数猜想要求 Δ ~ [log(pn)]-1 (因为 pn+1-pn=2 对无穷多个 n 成立)。 Goldston 和 Yildirim 的证明给出的是 Δ ~ [log(pn)]-1/9，两者之间还有相当距离。但是看过 Goldston 和 Yildirim 手稿的一些数学家认为 Goldston 和 Yildirim 所用的方法明显存在改进的空间，也就是说对 Δ 趋于 0 的方式可以给出更强的估计。因此 Goldston 和 Yildirim 的证明其价值不仅仅在于结果本身，更在于它很有可能成为未来一系列研究的起点。这种系列研究对于数学来说有着双重的价值，因为一方面这种研究所获得的新结果是对数学的直接贡献，另一方面这种研究对 Goldston 和 Yildirim 的证明会起到反复推敲和核实的作用。现代数学早已超越了一两个评审花一两个小时就可以对一个数学证明做出评判的时代。以前四色定理和 Fermat 大定理都曾有过一个证明时隔几年 (甚至十几年) 才被发现错误的例子。因此一个复杂的数学结果能够成为进一步研究的起点，吸引其它数学家的参与对于最终判定该结果的正确性具有极其正面的意义。

华人数学家张益唐2009年从事孪生素数猜想的研究，2012年7月在科罗拉多州的一个朋友家度假时，大脑突然开窍，让他取得重大进展；最终他证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”。有关专家指出：这一弱孪生素数猜想得以证明，将给孪生素数猜想证明开一个真正的“头”。

1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子2^2^n+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如2^2^n+1的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道： “我已经发现形如2^2^n+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。费马所研究的2^2^n+1 这种具有美妙形式的数，后人称之为费马数，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费马数都一定是素数。费马是正确的吗？

进一步验证费马的猜想并不容易。因为随着n的增大，Fn 迅速增大。比如对后人来说第一个需要检验的F5=4294967297已经是一个十位数了。非常可能的是，由于这一数太大，所以费马在得出自己的猜想时并没有对它进行验证。那么，它到底是否如同费马所相信的那样是一个素数呢？

1729年12月1日，哥德巴赫（哥德巴赫猜想的提出者）在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如 2^2^n+1 的数都是素数，你知道这个问题吗？他说他没能作出证明。据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。”这个问题吸引了欧拉。 1732年，年仅25岁的欧拉在费马死后67年得出F5 =641×6700417，其中641=5×27+1 这一结果意味着 是一个合数，因此费马的猜想是错的。

在对费马数的研究上，费马这位伟大的数论天才过分看重自己的直觉，轻率地做出了他一生唯一一次错误猜测。更为不幸的是，研究的进展表明费马不但是错的，而且非常可能是大错特错了。

此后人们对更多的费马数进行了研究。随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费马数的有力工具。但即使如此，在所知的费马数中竟然没有再添加一个费马素数。迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外竟然没有再发现一个！因此人们开始猜想：在所有的费马数中，除了前五个是素数外，其他的都是合数。如果这一结论被证实，那么对于费马的草率猜想来说，恐怕不会。