物质波，又称德布罗意波，即函数为概率波，它的模方指空间中某点某时刻可能出现的几率密度，其中概率密度的大小受波动规律的支配。

法国物理学家路易·维克多·德布罗意在爱因斯坦的狭义相对论的基础之上构建了德布罗意波的公式。

量子力学对其它可观测量亦呈现出一种分布，观测时得到其中一个本征值，物质波于宏观尺度下表现为对几率波函数的期望值，不确定性失效可忽略不计。

比如一个电子，如果是自由电子，那么它的波函数就是行波，即是说它有可能出现在空间中任何一点，每点几率相等。如果被束缚在氢原子里，并且处于基态，那么它出现在空间任何一点都有可能，在波尔半径处几率最大。对于你自己也一样，你也有可能出现在月球上，和你坐在电脑前的几率相比，这是非常非常小的，以至于不可能看到这种情况。这些都是量子力学的基本概念，非常有趣。

量子力学里，不对易的力学量，比如位置和动量是不能同时测量的，因此不能得到一个物体准确的位置和动量 ，位置测量越准 ，动量越不准，这个叫不确定性原理。哲学认为，不可能被观测的值相当于不存在，因此，根据量子力学，不存在同时拥有准确的动量和位置的粒子。机械波是周期性的振动在媒质内的传播，电磁波是周期变化的电磁场的传播。物质波既不是机械波，也不是电磁波。在德布罗意提出物质波以后，人们曾经对它提出过各种各样的解释。

到1926年，德国物理学家玻恩（1882～1970年）提出了符合实验事实的后来为大家公认的统计解释：物质波在某一地方的强度跟在该处找到它所代表的粒子的几率成正比。按照玻恩的解释，物质波乃是一种几率波。德布罗意波的统计解释粒子在某处邻近出现的概率与该处波的强度成正比。

电子密处，概率大。电子疏处，概率小。

电子密处，波强大。电子疏处，波强小。

波强∝振幅平方A2∝粒子密度∝概率。

1、物质波的统计解释：波粒二象性是统计性的规律，微观粒子的运动没有确定的轨迹，只能确定它在某一空间位置上出现的几率，物质波与经典的机械波不一样，它是几率波。

2、λ=h/p （h：普朗克常量；p：动量。 λ：波长）

3、f=ε/h（h：普朗克常量；ε： 能量。f： 频率）

1927年，克林顿·戴维森与雷斯特·革末在贝尔实验室将电子射向镍结晶 ，发现其衍射图谱和布拉格定律（这原是用于X射线的）预测的一样。在德布罗意假说被接受之前，科学界认为衍射是只会在波发现的性质。

这是量子力学的重要结果。1922年，康普顿证明了光具粒子的性质，而以上实验就证明了粒子有波的性质，肯定了波粒二象性的学说。物理学家可以使用德布罗意波长，并用波动方程来解释物质的现象。

后来基本粒子也被证实有波的性质。1999年，富勒烯被测出有波的性质。

在德国哥廷根大学的一个墓碑上刻着一个非常奇特的墓志铭，它没有文字，仅有一个公式：

pq-qp=h/2πi

这是量子力学中的一个基本关系，它被认为是该大学物理系著名的教授玻恩一生中最为重要的一项贡献。其实，在玻恩担任该系教授及系主任期间，该系一度成为理论物理研究中心，只有哥本哈根N·玻尔研究所才能与之相比。

1882年12月11日，玻恩诞生于德国弗罗茨瓦夫的一个内科医生家庭。四岁时，母亲即去世了，他早期主要跟随外祖母生活。他曾在布雷斯劳大学、柏林大学、海德堡大学、苏黎世大学和剑桥大学读过书，任过教，后在哥延根大学取得哲学博士学位，并留在该校物理系担任系主任，一度该系成为世界理论物理研究中心，连著名的物理学家泡利和海森堡都在该系做他的研究助手。泡利曾因提出“泡利不相容原理”而闻名全世界，海森堡也曾提出了量子力学的一个基本原理（不确定性原理），即“不确定性关系”，表明了经典力学规律不适用于亚原子微粒，因为不能同时知道这些粒子的位置和速度。

1924年，德布罗意提出了物质波的概念，即认为一切宏观粒子都具有与本身能量相对应的波动频率或波长，后来，G·P·汤姆逊（电子的发现者的儿子，电子发现者为J.J.汤姆逊）等人从电子衍射证明电子具有波动性。以此为研究起点，玻恩系统地提出了一种理论体系，把其中德布罗意电子波认为是电子出现的几率波，电子运动可以用一个波函数来表征，它不表示一个电子确定的运动方向与确定的轨道，却说明电子占据空间某一点所存在的几率。犹如抛硬币，事先无法判别正面向上，还是反面向上，却知道它们各自的几率是多少。玻恩用几率波成功地说明了量子力学的波函数的确切含意。

正由于玻恩对量子力学这门新兴学科的重大贡献，使他赢得了1954年度的诺贝尔物理学奖。

在光具有波粒二象性的启发下，法国物理学家德布罗意（1892～1987）在1924年提出一个假说，指出波粒二象性不只是光子才有，一切微观粒子，包括电子和质子、中子，都有波粒二象性。他把光子的动量与波长的关系式p=h/λ推广到一切微观粒子上，指出：具有质量m 和速度v 的运动粒子也具有波动性，这种波的波长等于普朗克恒量h 跟粒子动量mv的比，即λ= h/(mv)。这个关系式后来就叫做德布罗意公式。

从德布罗意公式很容易算出运动粒子的波长。

例如，电子的电荷是1.6×10^-19 库，质量是0.91×10^-30 千克，经过200 伏电势差加速的电子获得的能量E=Ue=200×1.6×10-19 焦=3.2×10-17 焦。这个能量就是电子的动能，即0.5mv^2=3.2×10^-17 焦，因此v=8.39*10^6 米/秒。于是，按照德布罗意公式这运动电子的波长是λ=h/(mv)=6.63*10^-34/（9.1*10^-31*8.39*10^6）=8.7×10-11 米，或者0.87 埃。

我们看到，这个波长与伦琴射线的波长相仿。前面讲过，这样短的波长，只有用晶体做衍射光栅才能观察到衍射现象。后来人们的确用这种办法观察到了电子的衍射，从而证明了德布罗意假说的正确性。

发现了电子、质子等微观粒子的波动性以后，对微观世界的认识统一起来了。不仅原来认为是电磁波的光具有粒子性，而且原来认为是粒子的电子、质子等也具有波动性。当然，应该指出，虽所有的微观粒子都具有波粒二象性，但光子跟电子、质子等粒子还是有很基本的区别的。光子没有静质量，电子、质子等都有静质量．光子的运动速度永远是c，电子、质子等却可以有低于光速c的各种不同的运动速度。