渐近分析是一种描述函数在极限附近的行为的方法。渐近分析方法在多个科学领域得到应用。在统计，渐近理论提供限制的近似概率分布的样本统计，如似然比统计量和所述期望值中的偏差。渐近分析也是探索现实世界现象的数学建模中出现的常微分方程和偏微分方程的关键工具。

最简单的例子如下：考虑一个函数，我们需要了解当变得非常大的时候的性质。

令，在特别大的时候，第二项比起第一项要小很多。

于是对于这个函数，有如下断言：在的情况下与渐近等价”，记作。

定义：给定关于自然数的复函数和，命题表明（使用小o符号）：

或（等价记法）：

这说明，对所有正常数，存在常量，使得对于所有的有：

当不是0或者趋于无穷大时，该命题可等价记作：

渐进等价是一个关于的函数的集合上的等价关系。非正式地，函数的等价类包含所有在极限情况下近似等于的函数。

函数的渐近展开是它的一种级数展开。这种展开的部分和未必收敛，但每一个部分和都表示的一个渐近表示式。例子：斯特灵公式。

对于正整数n，分区函数p（n）给出了将整数n写成正整数之和的方法的数量，其中不考虑加数的顺序。

艾里函数Ai（x）是微分方程y“-xy=0的解;它在物理学中有很多应用。

渐近分析方法在多个科学领域得到应用。在统计，渐近理论提供限制的近似概率分布的样本统计，如似然比统计量和所述期望值中的偏差。然而，渐近理论并不提供评估样本统计量的有限样本分布的方法。非渐近界由近似理论的方法提供。

应用程序的例子如下。

渐近分析是探索现实世界现象的数学建模中出现的常微分方程和偏微分方程的关键工具。一个说明性的例子是从控制流体流动的完整Navier-Stokes方程推导边界层方程。在许多情况下，渐近扩展是在一个小的参数，的功率ε：在边界层的情况下，这是无量纲的边界层厚度相对于问题的典型长度尺度比。事实上，渐近分析在数学建模中的应用往往围绕一个无量纲的参数，通过考虑手边的问题的尺度，已经显示或假定为很小的参数。

渐近展开通常出现在某些积分（拉普拉斯方法，鞍点方法，最速下降方法）或近似概率分布（埃奇沃思（Endworth）系列）的逼近中。该费曼图在量子场论是往往不收敛渐近展开的另一个例子。