测地曲率(geodesic curvature)是用于刻画曲面上曲线的内蕴弯曲程度的几何量。曲线C的曲率的平方等于测地曲率的平方与法曲率的平方之和，有著名的计算测地曲率的Liouville公式。

设 为 正则曲面M上的曲线，

记

并称 为曲线C在P点处的测地曲率。所以

此外，还有

它表明 是 或 在 上的投影。

中曲线C在P点的测地曲率向量 就是C在平面 上的投影曲线C*在P点的曲率向量。

证明:将曲线C按法向n垂直投影到切平面 ，得到切平面上的一条曲面C*，这时投影直线就组成了一个柱面 ，曲线C与C*都是柱面 上过P点的曲线，它们的切向量都是T(因为C与C*都在柱面上，故它们的切向量都垂直于柱面的法向；另一方面，C在曲面M上，故它的切向量垂直M的法向量n；而由C*在切平面 上，故C*的切向量也垂直M在P点的法向量n，由此推得C与C*在P点的切向量相同，都为T)，因为TXn为柱面的法向量以及 中向量 ，又因 ，故 ， 平行于柱面 在P点的法向，于是， 可视作曲线C在P点关于柱面的法曲率向量，所以对柱面运用Meusnier定理后知， 也为曲线C*关于柱面 的法曲率向量，但C*又可视作柱面上过P点的相应于方向T的法截线，易知， 就是C*在P点的曲率向量(图1)。

(曲线C的曲率 的平方等于测地曲率 的平方与法曲率 的平方之和)。

(Liouville)设M为 中2维 正则曲面， 为其参数表示，并选 为正交的参数曲线网。令

它为 中的规范正交基，C为过P∈M的C2曲线，s为其弧长，单位切向量

则C的测地曲率为

这就是计算测地曲率 的Liouville公式。它只涉及E，F，G，所以 只与曲面M的第1基本形式有关，它是曲面的内蕴几何量。

此外，还有