法方程
测量平差计算中的方程
法方程是测量平差计算中的一个重要的方程,是由平差函数模型线性化后的方程式、以及在VTPV=min的条件下所导得的方程式合并而成的联立方程组。
概念
法方程是测量平差计算中的一个重要的方程。它是由平差函数模型线性化后的方程式,以及在VTPV=min的条件下所导得的方程式合并而成的联立方程组。在各种平差函数模型中,方程式的个数总是少于所求未知量的个数,是多解方程,解不惟一,通过法方程则可求得既满足所有方程式,又满足VTPV=min的一组惟一解。例如,就附有限制条件的条件平差法而言,方程组:
就是它的总法方程,或称基础方程。其中(1),(2)两式是其函数模型线性化后的方程式,(3),(4)两式是在VPV=min”的条件下按条件极值导出的方程式。K和Ks是求条件极值时分别对应于(1)式和(2)式的拉格朗日乘数向量,在测量中习惯称为联系数向量。若利用(3)式消去V,则得:
(5)式称为法方程,其中Naa=AQAT。其他各种平差方法的总法方程和法方程都可由(1)~(4)式和(5)式简化而得。
各种平差方法的法方程,其系数阵都是对称满秩方阵。但在选取与定位有关的参数进行参数平差时,若网中无起算数据或起算数据不足,误差方程的系数阵列不满秩,即产生基准秩亏,则法方程的系数阵将是奇异的。
秩亏网平差
秩亏网平差亦称自由网平差。平差计算中的方法之一。它是当测量网选取与定位有关的参数进行参数平差时,其误差方程式的系数阵为列不满秩的一种平差方法。引起系数阵列不满秩的原因有:
1.网中的必要观测数据不足,使网的形状无法确定;
2.网中无必要的起算数据,使网的位置、方位和尺度无法确定。
实际工作中,在测量网中总是要进行多余的观测,因此通常所称的“秩亏网”都是指无必要起算数据的测量网。以测量网点坐标为参数的误差方程为:
由于网中无起算数据,R(B)=t
在VPV=min的条件下可导出求解x^的法方程,由于B列不满秩,法方程的系数阵将是u阶的奇异方阵,其解不惟一.为了获得一组惟一解,还必须加入新的约束条件,即解向量x^的最小范数条件:
按这些条件求解参数估值的方法分别称为普通秩亏网平差和加权秩亏网平差。有时还可在部分解向量的范数为最小的条件下计算,如拟稳平差。
拟稳平差
拟稳平差是秩亏网平差的方法之一。在无足够起算数据的测量网中,当选取与定位参数有关的参数进行参数平差时,其误差方程的系数阵列不满秩。拟稳平差的做法是:将网中所有待定点分成两部分,一部分是相对于其他点而言稳定程度较好的点,称为稳定点;另一部分称为非稳定点。设非稳定点和稳定点的坐标改正数向量分别为xⅠ和xⅡ,在进行平差时,为了求得一组惟一解,除了遵循最小二乘准则VTPV=min外,还需加入稳定点坐标改正数的范数最小条件x^Ⅱx^Ⅱ=min,因此,它是在“部分解向量范数最小”条件下的一种求解方法。周江文对拟稳平差进行了深入的研究,在这一研究领域中起到了先导和推动的作用。
参考资料
最新修订时间:2022-09-25 13:28
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概述
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