法坐标系是曲面S上的一种特殊坐标系。指数映射和法坐标系是属于曲面内蕴几何学的概念，适用于任意维数的黎曼流形。

对于每一点 ，都有一个正数 ，使得指数映射 是从切空间 在原点的邻域 到曲面 S 在点 p 的邻域 的可微同胚。特别地，如果在 中取笛卡尔直角坐标系 （x，y），则（x，y）同时也是曲面 S 在点 p 的邻域 U 上的坐标系，即

。

这样的坐标系称为曲面 S 在点 p 的法坐标系（normal coordinates）。在点 p 的法坐标系下，从点 p 出发的测地线的方程成为

式中，a，b是不全为零的常数。此外，曲面的第一基本型的系数在该点是 并且克氏符号在该点全为零，即 。

[exponentia mapping]

在曲面 S 上固定一点 p。在曲面 S 上从点 p 出发、沿任意一个切向量 v 作以弧长 s 为参数点测地线 ，并且在该测地线上截取 的点，则把切向量 映到曲面 S 上的点 的映射称为曲面 S 在点 p 的指数映射，记为 。

指数映射和法坐标系是属于曲面内蕴几何学的概念，适用于任意维数的黎曼流形。此时，在 n 维完备黎曼流形 M 上从任意一点 p 出发、任意一个切向量 作以弧长 s 为参数的测地线 ，并且在该测地线上截取 的点，则把切向量 映到黎曼流形 M 上的点 的映射称为黎曼流形 M 的指数映射，记为 ，其中 是 M 的切丛如果点 是取定的，将指数映射 exp 限制在切空间 上得到 称为黎曼流形 M 在点 p 的指数映射。如果不假定 M 是完备的，则指数映射 exp 在切丛 TM 中围绕零截面的一个邻域上有定义，指数映射 在切空间 中围绕零向量的一个邻域上有定义。