模糊数学模型是基于模糊集合理论构建的数学模型。它与传统数学模型的区别在于，元素对于集合的隶属关系不是非此即彼的，而是用介于0到1之间的隶属度来表示元素在一定程度上属于某个集合，以此来处理模糊性、不确定性的问题。
基本概念
模糊集和隶属函数
定义 1 论域X 到[0,1]
闭区间上的任意映射
μ ：X →[0,1]
x →μ (x)
都确定X 上的一个
模糊集合A ，μ 叫做A 的
隶属函数，μ (x) 叫做x 对模糊集A 的隶属度，记为：
{(x,μ (x)) | x ∈X }
使μ (x) =0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，此点最具模糊性。
显然，模糊集合A 完全由隶属函数μ 来刻画，当μ (x) {0,1} 时，A 退化为一个普通集。
模糊集的运算
常用取大“∨”和取小“∧”
算子来定义Fuzzy 集之间的运算。
定义2 对于
论域X 上的模糊集A ，B ，其
隶属函数分别为μ1(x) ，μ2(x) 。
A B
(i) 若对任意x ∈X ，有μ1(x) ≤μ2(x) ，则称A 包含B ，记为B ⊆A ；
B A
(ii) 若A ⊆B 且B ⊆A ，则称A 与B 相等，记为A B 。
定义3 对于论域X 上的模糊集A ，B ，
(i) 称Fuzzy 集C A UB ，D A IB 为A 与B 的并（union ）和交（intersection ），
即
C (A UB)(x) max{A(x),B(x)} A(x) ∨B(x)
D (A IB)(x) min{A(x),B(x)} A(x) ∧B(x)
他们相应的隶属度μ (x),μ (x) 被定义为
C D
μ (x) max{μ (x),μ (x)}
C A B
μ (x) min{μ (x),μ (x)}
D A B
(ii) Fuzzy 集AC 为A 的补集或
余集(complement)，其隶属度
μ (x) 1−μ (x)
AC A
确定方法
模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建
立符合实际的
隶属函数。如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未解决的问题。这
里仅仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。
模糊统计方法
模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客
观存在性来确定的。所谓的模糊统计试验包含以下四个要素：
(i) 论域X ；
(ii) X 中的一个固定元素x0 ；
*
(iii) X 中一个随机变动的集合A (普通集)；
* *
(iv) X 中一个以A 作为弹性边界的模糊集A ，对A 的变动起着制约作用。其中
* *
x0 ∈A ，或者x0 ∉A ，致使x0 对A 的关系是不确定的。
假设做n 次模糊统计试验，则可计算出
*
x A
0 ∈ 的次数
x0 对A 的隶属频率=
n
实际上，当n 不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为x0 对A 的隶属度，
即
*
x0 ∈A 的次数
μ (x ) =lim
A 0
n→∞ n
指派方法
指派方法是一种主观的方法，它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函
数的一种方法。
如果模糊集定义在
实数域R 上，则模糊集的
隶属函数称为模糊分布。所谓指派方
法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测量数据确定其中
所包含地参数，常用的模糊分布如表 1 所示。
实际中，根据问题对研究对象的描述来选择适当的模糊分布：
① 偏小型模糊分布一般适合于描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小
的程度的模糊现象。
② 偏大型模糊分布一般适合于描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大
的程度的模糊现象。
③ 中间型模糊分布一般适合于描述像“中，适中，不太多，不太少，不太深，不
太浓，暖和，中年”等处于中间状态的模糊现象。
但是，表 1 给出的
隶属函数都是近似的，应用时需要对实际问题进行分析，逐步修
改进行完善，最后得到近似程度更好的隶属函数。
方法
在实际应用中，用来确定模糊集的
隶属函数的方法示多种多样的，主要根据问题的
实际意义来确定。譬如，在经济管理、社会管理中，可以借助于已有的“客观尺度”作
为模糊集的隶属度。下面举例说明。
如果设论域X 表示机器设备，在X 上定义模糊集A =“设备完好”，则可以用“设
备完好率”作为A 的隶属度。如果X 表示产品，在X 上定义模糊集A =“质量稳定”，
则可以用产品的“正品率”作为A 的隶属度。如果X 表示家庭，在X 上定义模糊集A
=“家庭贫困”，则可以用“Engel
系数=食品消费/总消费”作为A 的隶属度。
另外，对于有些模糊集而言，直接给出隶属度有时是很困难的，但可以利用所谓的
“二元对比排序法”来确定，即首先通过两两比较确定两个元素相应隶属度的大小排出
模糊关系和矩阵
基本概念
定义 4 设论域U ，V ，乘积空间上U ×V {(u,v) u ∈U,v ∈V}上的一个模糊
子集R 为从集合U 到集合V 的模糊关系。如果模糊关系R 的
隶属函数为
μ ：U ×V →[0,1] ， (x,y ) aμ (x,y )
R R
则称隶属度μ (x,y ) 为(x,y ) 关于模糊关系R 的相关程度。
R
这是二元模糊关系的数学定义，多元模糊关系也可以类似定义。
{ } { }
设U x ,x ,L,x ，V y ,y ,L,y ，R 为从从U 到V 的模糊关系，其
1 2 m 1 2 n
隶 属 函 数 为 μ (x,y ) ， 对 任 意 的 (x ,y ) ∈U ×V 有 μ (x ,y ) r ∈[0,1] ，
R i j R i j ij
i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，记R (r ) ，则R 就是所谓的模糊矩阵。下面给出一
ij m×n
般的定义。
定义 5 设矩阵R (r ) ，且r ∈[0,1] ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，则R 称
ij m×n ij
为模糊矩阵。
特别地，如果rij ∈{0,1} ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，则称R 为布尔(Bool)矩阵。
当模糊方阵R (r ) 的对角线上的元素r 都为 1 时，称R 为模糊自反矩阵。
ij n×n ij
当 m 1 或 者 n 1 时 ， 相 应 地 模 糊 矩 阵 为 R (r ,r ,L,r ) 或 者
1 2 n
R (r ,r ,L,r )T ，则分别称为模糊
行向量和模糊
列向量。
1 2 n
运算及其性质
模糊矩阵间的关系及并、交、余运算
定义 6 设A (a ) ，B (b ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 都是模糊矩阵，
ij m×n ij m×n
定义
(i) 相等：
A B ⇔a b ；
ij ij
(ii) 包含：
A ≤B ⇔a ≤b ；
ij ij
(iii) 并：
A UB (a ∨b ) ；
ij ij m×n
(iv) 交：
A IB (a ∧b )
ij ij m×n
(v) 余：
AC (1−a )
ij m×n
⎛ 1 0.1 ⎛0.7 0
⎞ ⎞
模糊矩阵的合成
定义 7 设A (aik )m×s ，B (bkj )s×n ，称模糊矩阵
A oB (c )
ij m×n
为A 与B 的合成，其中
{ }
cij max (aik ∧bkj ) 1≤k ≤s
⎛ 1 0.7⎞
⎛0.4 0.7 0 ⎞ ⎜ ⎟
模糊矩阵的转置
定义 8 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n ，称AT (aT ) 为A 的转
ij m×n ji n×m
置矩阵，其中aT a 。
ji ij
(4) 模糊矩阵的λ−截矩阵
定义 9 设A (a ) ，对任意的λ∈[0,1] ，
ij m×n
(i) 令
1, a ≥λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a ＜λ
⎪⎩ ij
则称Aλ (a(λ) ) 为模糊矩阵A 的λ截矩阵。
ij m×n
(ii) 令
1, a ＞λ
(λ) ⎧⎪ ij
aij ⎨
0, a ≤λ
⎪⎩ ij
则称 (λ) λ
Aλ (aij )m×n 为模糊矩阵A 的 强截矩阵。
·
显然，对于任意的λ∈[0,1] , λ截矩阵是布尔矩阵。
⎛ 1 0.5 0.2 0 ⎞
⎜ ⎟
⎜0.5 1 0.1 0.3 ⎟
模糊矩阵的一个性质
性质 设A (a ) ，i 1,2,L,m,j 1,2,L,n 是模糊自反矩阵(对角线上的元ij m×n 素 I rij 都为 1 的模糊矩阵)， 是n 阶
单位矩阵，则
I ≤R ≤R 2
证：因为A (a ) 是模糊自反矩阵，即有rii 1，所以I ≤R ，又
ij m×n
{ }
max (aik ∧akj ) 1≤k ≤n ≥rii ∧rij rij
即有R ≤R 2 。