若某一物理量A的
算符A'作用于某一状态函数$，等于某一常数a乘以$，即A'$=a$ (1)。那么，对$所描述的这个微观体系的状态，物理量A具有确定的数值a，a称为物理量算符A'的本征值，$称为A'的
本征态或本征波函数。（1）式称为A'的
本征方程。
在数学中，
函数空间上定义的线性算子 的本征函数（英语：Eigenfunction，又称固有函数）就是对该空间中任意一个非零函数 进行变换仍然是函数 或者其标量倍数的函数。更加精确的描述就是
其中 λ 是标量，它是对应的特征值。另外特征值微分的解受到 边界条件的限制。当考虑限制条件的时候，只有特定的特征值 （ ）对应于 的解（每个 对应于一个特征值 ）。分析 的最有效的方法就是检查其特征向量是否存在。
的本征函数，对于任意的 ，有对应的本征值 。如果在这个系统上加上限制条件，如在空间中某两个物理位置 ，那么只有特定的 才能满足这个限制条件，这样对应的离散本征值为 。
本征函数在
物理学的很多分支中都起着重要作用，其中一个重要的例子就是
量子力学中的
薛定谔方程 其中 是特征值为 的算子 的本征函数。只有特定的与本征函数 相关的特征值 满足薛定谔方程这样的事实引出了量子力学的自然基础以及
元素周期表，每个 定义了一个允许存在系统能量状态。这个方程成功地解释了
氢原子的谱特性被认为是20世纪
物理学的一项巨大成就。
根据
哈密顿算子的特性，可以知道它的本征函数是
正交函数。但是对于其它算子的本征函数可能并不是这样，如上面提及的。正交函数 （ ）有以下特性