令K是域F的一个扩域．一个元素a如果它生成扩域K/F，即K=F(a)，则称该元索为该扩域的本原元。本原元很有用，因为如果a在F上的既约多项式已知，那么在F(a)上的运算会很容易进行。

本原元是有限域乘法特性的主要表现。

与循环群类似，记域元素 的幂为

定义1 非零域元素 的阶 是其幂为单位元的最小幂指数，即

定义2 称具有最大阶的域元素为本原元，即对本原元 ，有

注意到域元素的阶实际上就是域的乘法群的群元素的阶，所以容易得到以下域元素的性质：

(1)GF(q)中的任意非零元素均可表示为本原元 的幂。因为由乘法的封闭性及本原元的定义，必有 ，所以

(2)(本原元的计数定理)GF(q)中有个本原元，这里为欧拉函数，其值为小于n且与n互素的非零正整数的个数，即

因为由域的定义，有限域的非零元素集合对域乘法形成一个有限交换群，而有限交换群一定是循环群，所以中存在生成元，使得，从而循环群中生成元的个数就是中本原元的个数。

定理内容

特征为零的域F的任何有限扩域K包含本原元。

注：这个命题当F是有限域的时候也是成立的，只是证明不同。对于特征 的无限域，定理需要更多的假设条件，因为我们不研究这样的域，因此不考虑这种情况。

本原元定理的证明

由于扩域K/F是有限扩域，故K由有限集合生成，例如K作为F-向量空间的一组基就在F上生成K，设 ，我们对于k应用归纳法，当 ，无需证明，假设k>l，归纳假设定理对于域 成立，该域 由前k一1个元素 生成，故我们可以假设 由单个元素 生成，所以K由两个元素 和 生成，定理的证明于是简化为K由两个元素生成的情形，下面的引理解决这种情形。

引理 令F是特征为零的域，令K是由两个元素 和 在F上生成的扩域，除去F中有限多个c之外， 是K在F上的本原元。

在比较大的域中，需要一个系统的方法来寻找本原元，下面给出一个寻找任意有限域中本原元的高斯算法。

在此算法中我们需要依次处理域元素序列 ，其中 ， ，实际上，对于 ，有

高斯算法：

第一步：设i=1，取域F中的任意一个非零元 ，且记 ；

第二步：若 ，则算法停止， 即为所寻找的本原元，否则转第三步；

第三步：在域F中选一个非 的幂次的非零元 ，设 ，若s=q一1，则令 ，算法停止；否则转第四步。

第四步：寻找 的一个因子d，s的一个因子e，使得 且 ，设

， 值加1，返回第二步。