在数学中，有限元法（FEM，Finite Element Method）是一种为求解偏微分方程边值问题近似解的数值技术。求解时对整个问题区域进行分解，每个子区域都成为简单的部分，这种简单部分就称作有限元。

英文：Finite Element

有限单元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用的一种有效的数值分析方法，随后很快广泛地应用于求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

有限元法分析计算的思路和做法可归纳如下：

将某个工程结构离散为由各种单元组成的计算模型，这一步称作单元剖分。离散后单元与单元之间利用单元的节点相互连接起来；单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质，描述变形形态的需要和计算精度而定（一般情况单元划分越细则描述变形情况越精确，即越接近实际变形，但计算量越大）。所以有限元中分析的结构已不是原有的物体或结构物，而是同新材料的由众多单元以一定方式连接成的离散物体。这样，用有限元分析计算所获得的结果只是近似的。如果划分单元数目非常多而又合理，则所获得的结果就与实际情况相符合。

在有限单元法中，选择节点位移作为基本未知量时称为位移法；选择节点力作为基本未知量时称为力法；取一部分节点力和一部分节点位移作为基本未知量时称为混合法。位移法易于实现计算自动化，所以，在有限单元法中位移法应用范围最广。

当采用位移法时，物体或结构物离散化之后，就可把单元总的一些物理量如位移，应变和应力等由节点位移来表示。这时可以对单元中位移的分布采用一些能逼近原函数的近似函数予以描述。通常，有限元法我们就将位移表示为坐标变量的简单函数，这种函数称为位移模式或位移函数。

根据单元的材料性质、形状、尺寸、节点数目、位置及其含义等，找出单元节点力和节点位移的关系式，这是单元分析中的关键一步。此时需要应用弹性力学中的几何方程和物理方程来建立力和位移的方程式，从而导出单元刚度矩阵，这是有限元法的基本步骤之一。

物体离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。但是，对于实际的连续体，力是从单元的公共边传递到另一个单元中去的。因而，这种作用在单元边界上的表面力、体积力和集中力都需要等效的移到节点上去，也就是用等效的节点力来代替所有作用在单元上的力。

利用结构力学的平衡条件和边界条件把各个单元按原来的结构重新连接起来，形成整体的有限元方程。

K是整体结构的刚度矩阵；q是节点位移列阵；f是载荷列阵。

解有限元方程式得出位移。这里，可以根据方程组的具体特点来选择合适的计算方法。

1943年 courant在论文中取定义在三角形域上分片连续函数，利用最小势能原理研究St.Venant的扭转问题。

1960年 clough的平面弹性论文中用“有限元法”这个名称。

1965年冯康发表了论文“基于变分原理的差分格式”，这篇论文是国际学术界承认我国独立发展有限元方法的主要依据。

1970年 随着计算机和软件的发展，有限元发展起来。

1975年 谢干权发表论文“三维弹性问题的有限单元法”，标志着我国学者在与世隔绝的情况下，独立发展出真正能应用于三维实践的有限元方法和有限元工程软件。文中还在全世界率先得到了三维有限元的超收敛结果。

有限元所依据的理论，单元的划分原则，形状函数的选取及协调性。

数值计算方法及其误差、收敛性和稳定性。

固体力学、流体力学、热传导、电磁学、声学、生物力学

杆、梁、板、壳、块体等各类单元构成的弹性（线性和非线性）、弹塑性或塑性问题（包括静力和动力问题）。能求解各类场分布问题（流体场、温度场、电磁场等的稳态和瞬态问题），水流管路、电路、润滑、噪声以及固体、流体、温度相互作用的问题。

概述：

随着计算机技术的迅速发展，在工程领域中，有限元分析（FEA）越来越多地用于仿真模拟，来求解真实的工程问题。这些年来，越来越多的工程师、应用数学家和物理学家已经证明这种采用求解偏微分方程（PDE）的方法可以求解许多物理现象，这些偏微分方程可以用来描述流动、电磁场以及结构力学等等。有限元方法用来将这些众所周知的数学方程转化为近似的数字式图象。

早期的有限元主要关注于某个专业领域，比如应力或疲劳，但是，一般来说，物理现象都不是单独存在的。例如，只要运动就会产生热，而热反过来又影响一些材料属性，如电导率、化学反应速率、流体的粘性等等。这种物理系统的耦合就是我们所说的多物理场，分析起来比我们单独去分析一个物理场要复杂得多。很明显，我们需要一个多物理场分析工具。

在上个世纪90年代以前，由于计算机资源的缺乏，多物理场模拟仅仅停留在理论阶段，有限元建模也局限于对单个物理场的模拟，最常见的也就是对力学、传热、流体以及电磁场的模拟。看起来有限元仿真的命运好像也就是对单个物理场的模拟。

这种情况已经开始改变。经过数十年的努力，计算科学的发展为我们提供了更灵巧简洁而又快速的算法，更强劲的硬件配置，使得对多物理场的有限元模拟成为可能。新兴的有限元方法为多物理场分析提供了一个新的机遇，满足了工程师对真实物理系统的求解需要。有限元的未来在于多物理场求解。

千言万语道不尽，下面只能通过几个例子来展示多物理场的有限元分析在未来的一些潜在应用。

压电扩音器（Piezoacoustic transducer）可以将电流转换为声学压力场，或者反过来，将声场转换为电流场。这种装置一般用在空气或者液体中的声源装置上，比如相控阵麦克风，超声生物成像仪，声纳传感器，声学生物治疗仪等，也可用在一些机械装置比如喷墨机和压电马达等。

压电扩音器涉及到三个不同的物理场：结构场，电场以及流体中的声场。只有具有多物理场分析能力的软件才能求解这个模型。

压电材料选用PZT5-H晶体，这种材料在压电传感器中用得比较广泛。在空气和晶体的交界面处，将声场边界条件设置为压力等于结构场的法向加速度，这样可以将压力传到空气中去。另外，晶体域中又会因为空气压力对其的影响而产生变形。仿真研究了在施加一个幅值200V，震荡频率为300 KHz的电流后，晶体产生的声波传播。这个模型的描述及其完美的结果表明在任何复杂的模型下，我们都可以用一系列的数学模型进行表达，进而求解。

多物理场建模的另外一个优势就是在学校里，学生们直观地获取了以前无法见到的一些现象，而简单易懂的表达方式也获得了学生们的好感。这只是Krishan Kumar Bhatia博士在纽约Glassboro的Rowan 大学给高年级的毕业生讲授传热方程课程时介绍建模及分析工具所感受到的，他的学生的课题是如何冷却一个摩托车的发动机箱。Bhatia博士教他们如何利用“设计－制造－检测”的理念来判断问题、找出问题、解决问题。如果没有计算机仿真的应用，这种方法在课堂上推广是不可想象的，因为所需费用实在是太大了。

COMSOL Multiphysics拥有优秀的用户界面，可以使学生方便地设置传热问题，并很快得到所需要的结果。“我的目标是使每个学生都能了解偏微分方程，当下次再遇到这样的问题时，他们不会再担心，” Bhatia博士说，“这不需要了解太多的分析工具，总的来说，学生都反映‘这个建模工具太棒了’”。

很多优秀的高科技工程公司已经看到多物理场建模可以帮助他们保持竞争力。多物理场建模工具可以让工程师进行更多的虚拟分析而不是每次都需要进行实物测试。这样，他们就可以快速而经济地优化产品。在印度尼西亚的Medrad Innovations Group中，由John Kalafut博士带领着一个研究小组，采用多物理场分析工具来研究细长的注射器中血细胞的注射过程，这是一种非牛顿流体，而且具有很高的剪切速率。

通过这项研究，Medrad的工程师制造了一个新颖的装置称为先锋型血管造影导管（Vanguard Dx Angiographic Catheter）。同采用尖喷嘴的传统导管相比，采用扩散型喷嘴的新导管使得造影剂分布得更加均匀。造影剂就是在进行X光拍照时，将病变的器官显示得更加清楚的特殊材料。

另外一个问题就是传统导管在使用过程中可能会使得造影剂产生很大的速度，进而可能会损伤血管。先锋型血管造影导管降低了造影剂对血管产生的冲击力，将血管损伤的可能性降至最低。

关键的问题就是如何去设计导管的喷嘴形状，使其既能优化流体速度又能减少结构变形。Kalafut的研究小组利用多物理场建模方法将层流产生的力耦合到应力应变分 析中去，进而对各种不同喷嘴的形状、布局进行流固耦合分析。“我们的一个实习生针对不同的流体区域建立不同的喷嘴布局，并进行了分析，” Kalafut博士说，“我们利用这些分析结果来评估这些新想法的可行性，进而降低实体模型制造次数”。

摩擦搅拌焊接（FSW），自从1991年被申请专利以来，已经广泛应用于铝合金的焊接。航空工业最先开始采用这些技术，正在研究如何利用它来降低制造成本。在摩擦搅拌焊接的过程中，一个圆柱状具有轴肩和搅拌头的刀具旋转插入两片金属的连接处。旋转的轴肩和搅拌头用来生热，但是这个热还不足以融化金属。反之，软化呈塑性的金属会形成一道坚实的屏障，会阻止氧气氧化金属和气泡的形成。粉碎，搅拌和挤压的动作可以使焊缝处的结构比原先的金属结构还要好，强度甚至可以到原来的两倍。这种焊接装置甚至可以用于不同类型的铝合金焊接。

空中客车（AirBus）资助了很多关于摩擦搅拌焊接的研究。在制造商大规模投资和重组生产线之前，Cranfield大学的Paul Colegrove博士利用多物理场分析工具帮助他们理解了加工过程。

第一个研究成果是一个摩擦搅拌焊接的数学模型，这让空客的工程师“透视”到焊缝中来检查温度分布和微结构的变化。Colegrove博士和他的研究小组还编写了一个带有图形界面的仿真工具，这样空客的工程师可以直接提取材料的热力属性以及焊缝极限强度。

在这个摩擦搅拌焊接的模拟过程中，将三维的传热分析和二维轴对称的涡流模拟耦合起来。传热分析计算在刀具表面施加热流密度后，结构的热分布。可以提取出刀具的位移，热边界条件，以及焊接处材料的热学属性。接下来将刀具表面处的三维热分布映射到二维模型上。耦合起来的模型就可以计算在加工过程中热和流体之间的相互作用。

将基片的电磁、电阻以及传热行为耦合起来需要一个真正的多物理场分析工具。一个典型的应用是在半导体的加工和退火的工艺中，有一种利用感应加热的热壁熔炉，它用来让半导体晶圆生长，这是电子行业中的一项关键技术。

例如，金刚砂在2,000°C的高温环境下可以取代石墨接收器，接收器由功率接近10KW的射频装置加热。在如此高温下要保持炉内温度的均匀，炉腔的设计至关重要。经过多物理场分析工具的分析，发现热量主要是通过辐射的方式进行传播的。在模型内不仅可以看到晶圆表面温度的分布，还可以看到熔炉的石英管上的温度分布。

在电路设计中，影响材料选择的重要方面是材料的耐久性和使用寿命。电器小型化的趋势使得可在电路板上安装的电子元件发展迅猛。众所周知，安装在电路板上的电阻以及其他一些元件会产生大量的热，进而可能使得元件的焊脚处产生裂缝，最后导致整个电路板报废。

多物理场分析工具可以分析出整个电路板上热量的转移，结构的应力变化以及由于温度的上升导致的变形。这样做可以用来提升电路板设计的合理性以及材料选择的合理性。

计算机能力的提升使得有限元分析由单场分析到多场分析变成现实，未来的几年内，多物理场分析工具将会给学术界和工程界带来震惊。单调的“设计－校验”的设计方法将会慢慢被淘汰，虚拟造型技术将让你的思想走得更远，通过模拟仿真将会点燃创新的火花。

自2000年以来,国内外对非线性结构问题的数值解法做了大量的研究。修正的牛顿－拉普森迭代法的出现,为保证计算精度提供了保障。但是,对求解结构极限强度而言,这种方法仍很难找到极限点。Wright&Gaylord发展了假想弹簧法以保证后极限强度区域结构刚度矩阵的正定,并成功应用于框架结构的分析。Bergan等提出了当前刚度参数法,来抑制临界区域的平衡迭代进而穿越极限点。Batoz提出了位移控制法,通过施加已知位移变化过程反求结构内力,从而穿越极限点求出结构的后极限强度响应。Riks首次提出弧长控制法,1981年由Crisfield、Ramm、Powell和Simons等人做了改进,并与修正的牛顿－拉普森法相结合,成功地实现了求解后极限平衡路径中的“阶跃”(Snap-through)问题。高素荷等人对网格划分密度与有限元求解精度的关系进行了研究。通过对不同网格密度、不同单元类型的有限元力学模型计算结果与精确解的分析比较,探索研究单元网格划分与有限元求解精度的内在联系,为在保证有限元解满足工程实际精度要求的前提下,确定合理的网格密度,提高有限元分析效率进行了有益的探索。研究证明:对于几何尖角处、应力应变变化较大区域,有限元分析时应选择高阶次单元,并适当增加单元网格密度。这样,既可保证单元的形状,同时,又可提高求解精度、准确性及加快收敛速度。全自动划分网格时,优先考虑选用高阶单元。在网格划分和初步求解时,应做到先简后繁,先粗后精。由于工程结构一般具有重复对称或轴对称、镜象对称等特点,为提高求解效率,应充分利用重复与对称等特征,采用子结构或对称模型以提高求解效率和精度。

中国CAE技术研究、开发和应用可以说是几起几落，走着一条十分艰难的发展之路。已故我国著名计算数学家冯康先生在50年代就提出了有限元方法的基本思想，几乎是和国外同步。 60年代中期我国也出现了一些学习有限元方法的单位和学者，但是由于计算机硬件条件的限制，更由于文化大革命等政治社会环境的影响，在相当长一段时期，我国CAE技术受到冲击，但在科研工作者响应国家号召，全身心投入到水电站的水坝的应力应变计算的工作中，终于由湖南省计算技术研究所的谢干权和李建华，在与国外隔绝的情况下，独立发明了中国的三维有限元方法和工程软件，1973年成功应用于黄河水利委员会的工程项目，并于1975年发表了“三维弹性问题的有限单元法”一文，继而在70年代到80年代上半叶，应用于全国的大型水坝的计算，为国家节约了大量资金；值得强调的是，根据经过严格审查的此文介绍，谢干权与李建华合作攻克的三维有限元程序是1972年调试成功，1973年用于黄河水利委员会的项目，论文第一页脚注清晰指出：此文是1973年投稿，1974年定稿，1975年正式发表，在时间顺序上可得，他们是1973年发现三维有限元超收敛性，远远领先于国外专家，关于他们在全世界第一个发现三维有限元超收敛的这个结论，得到了世界知名有限元专家MICHAL KRIZEK在学术论文中公开承认，这是中国第一个在有限元领域超过外国的发现。2000年，李建华谢干权夫妇又在世界上首先发现隐身斗篷，而且是可实现的不超光速的双层隐形披风，不仅在计算科学领域继续保持了领先地位，还在全世界率先提出了超科学的概念。

20世纪70年代中期，大连理工大学研制出了DDJ，JIGFEX有限元分析软件和DDDU结构优化软件；北京农业大学李明瑞教授研发了FEM软件；80年代中期，北京大学袁明武教授通过对国外SAP软件的移植和重大改造，研制出了SAP-84；由于航空工业的需求，航空工业部从70年代初也开始陆续组织研制了HAJIF（I，II，III），YIDOYU，COMPASS，并多次获国家级奖励等等。这些国内CAE软件与国外的同类产品相比，在核心算法和若干功能上有很多特色，反映了我国学者在计算力学研究中取得的成果，充分考虑了我国计算机硬件的实际条件，在国家基础设施建设和工程结构设计中都发挥了重要作用，有相当广泛的应用。

90年代以来，国家加大开放力度，大批国外软件涌入中国市场，加速了CAE技术在我国的推广，这无疑提高了我国装备制造业的设计水平。在此同时，我们自主开发的软件受到强烈挑战。特别是盗版的国外软件，对我国自主开发的CAE软件打击很大。有一段时间，几乎听不到自主开发CAE软件的声音，相关管理部门支持国产软件发展的力度大幅下降。支持基础研究的部门认为，CAE软件开发提不出基础科学问题，支持科技攻关和高新技术发展的部门认为，CAE软件开发要走市场化的道路，到市场上去找经费。自主开发CAE软件在人力、财力、物力上都遭遇很多困难。

CAE软件集中凝聚了技术科学的研究成果，自主开发CAE软件面临的处境和技术科学在我国的的处境相仿。最近的两院院士大会上，胡锦涛同志针对忽视技术科学的倾向，强调了“要高度重视技术科学的发展”，给我们以很大鼓舞。事实上，这些有我国自主知识产权的软件的功绩是不可磨灭的，这些软件不仅解决了一大批国家经济建设提出的问题，产生了直接和间接的经济效益，其研发和应用过程培养了一大批从事CAE研发和应用的人才；这些软件的存在也打破了西方国家对我们的壁垒，迫使国外产品大幅度地降低了价格，它们直接或间接地对国家GDP做出了不可低估的贡献。

国产CAE软件发展面临的困境是我们国家自主知识产权的大部分技术和产品面临的困境的缩影；在我国技术经济学的领域内，有的专家认为，改革开放以来国民经济增长的主要贡献来自开放，而不是自主知识产权的技术创新，后者对GDP的贡献非常小。这样一个说法也许有依据，因为在现实生活中我们可以看到，国内相当大批企业使用的成套技术、成套生产线上的设备和大型软件是从国外引进的，生产的工艺和很多产品的知识产权是外国公司的。因为面对西方发达国家研发多年的成套技术、设备、产品以及拓展市场的经验，我们自主创新的科技成果虽然在技术上优于对方，但往往还缺乏足够的经济上的优势来淘汰对方。这样一个说法应该引起我们广大科技工作者和管理部门的反思，如何加速我们具有自主知识产权的技术创新活动，如何将这些成果尽早转化为现实的生产力。但是，我们应该强调的是，以对GDP的直接贡献来衡量中国科技进步对国家经济建设和社会进步的贡献，是非常片面的；我们不能以对GDP的直接贡献不大为由，就不重视自主创新。正如江泽民同志指出的，创新是一个民族的灵魂。

值得庆幸的是，尽管面临诸多困难，国内仍然“幸存”下来一批致力于CAE技术的研究队伍。元计算首席科学家，中国科学院数学与系统科学研究所梁国平研究员团队历经八年的潜心研究，独创了具有国际领先水平的有限元程序自动生成系统（FEPG）。FEPG采用元件化思想和有限元语言这一先进的软件设计，为各种领域、各方面问题的有限元求解提供了一个极其有力的工具，采用FEPG可以在数天甚至数小时内完成通常需要数月甚至数年才能完成的编程劳动。FEPG是“幸存”下来的为数不多的CAE软件，这也得力于FEPG软件比较灵活，能够解决很多国外商用软件无法解决的有限元问题，FEPG软件实用性强，但易用性较国外商用软件差，这也是很多初级用户感觉较难而不愿意学习FEPG的因素。经过多年积累，业已有三百多家科研院、企业应用。已成为国内做的最大的有限元软件平台。但与国外软件市场化程度相比还是有一定差距，需要在软件易用性方面做一些工作。

为向国内用户提供面向应用的有限元分析系统，原FEPG团队的钱华山博士组织成立了北京超算科技有限公司，并开发了超算有限元分析系统SciFEA。SciFEA软件已形成了单机版、网络版(iSciFEA)、集群并行版、GPU并行版(SciFEA-GPU)系列版本。SciFEA软件国内正式用户已接近500家，下载试用用户已超过两万份。SciFEA抛弃了传统CAE软件复杂结构体系设计模式，采用直接面向用户需求的独立模块开发方式，目功能上通常的计算功能已经具备，在计算模型的扩展方面还有待进一步发展。

除FEPG软件、SciFEA软件比较成规模外，中国建筑设计研究院的PKPM软件在建筑领域也具有广泛的应用，而大连理工大学的软件主要是解决结构优化； 其他也有一些国内有限元软件，中国农业大学开发的有限元侧重梁板壳的计算，但其发展缓慢，市场上很难见到其踪迹。美国在2011年的规划中把仿真计算作为未来规划中的五大基础产业之一，可见有限元对社会的发展的影响力，而我国大多应用的是国外的有限元软件，并且在某些军工或尖端有限元分析模块方面是严格限制向中国出口的。这更需要国内自主知识产权的有限元软件。

流体力学有限元方法包括速度压力法，流函数-涡函数法和流函数法。