替换公理模式是
集合论的ZF
公理系统中的一个公理模式,替换公理模式有时被其形式上更弱,在其他公理(包括
分离公理模式)下等价的收集公理模式替代。
替换公理模式有时被其形式上更弱,在其他公理(包括
分离公理模式)下等价的收集公理模式替代。替换公理模式的表述是:“对任意
集合x和任意对x的元素有定义的逻辑
公式F(z),存在集合y,使w∈y当且仅当存在z∈x而且F(z)=w”。收集公理模式的表述是:“对任意
集合x和定义在x和所有集合的类上的二元关系A(z,w),如果对任何z∈x都存在w使A(z,w)为真,那么存在集合y,使得当存在z∈x,就存在w∈y,使A(z,w)为真”。
替换公理模式的应用之一是用来构造
序数ω·2。从空集开始,不断应用
并集公理和无序对公理(用来构造{x})可以证明所有自然数的存在,通过无穷公理和
分离公理模式可以证明ω的存在,继续取后继可以证明ω+i(i∈N)的存在,但是因为不用替换公理模式无法证明这些序数组成一个集合,所以无法证明ω·2的存在。利用替换公理模式可以将N替换为{x|x=ω+i,i∈N},与N取并集即可。同理,证明每个
良序集都有对应的序数也要用到替换公理模式。