无环条件(no cycle condition)是Ω稳定性的基本条件之一，描述了动力系统的不变集之间的关系。通常所说公理A系统满足无环条件或具有无环性质是指：Ω(f)的谱分解的基本集关于一种关系是无环的，即基本集满足无环条件。在Ω稳定性研究中，无环条件的提出是以Ω爆炸为其背景的，已经证明：满足公理A和无环条件的系统是Ω稳定和拓扑Ω稳定的，并且Ω稳定蕴涵满足公理A和无环条件。

无环条件(no cycle condition)是 稳定性的基本条件之一，描述了动力系统的不变集之间的关系。设M是紧致流形， 是同胚， 是两两不相交的 的闭不变集。在这些集合间定义如下所述的一种关系“ ”：

这里

和 分别称为 的稳定集和 的不稳定集。如果存在两两不相同的 使得

则称 形成了一个环。如果在 中不存在任何环，则称关系“ ”是无环的。对M上的连续流 而言，其无环性可如下说明：如果 是两两不相交的 的闭不变集，在这些集合间定义如下所述的一种关系“ ”∶ ⇔对某 有 。于是，如上可定义关系“ ”的无环性。通常所说公理A系统满足无环条件或具有无环性质是指： 的谱分解的基本集关于关系“ ”是无环的，即基本集满足无环条件。在Ω稳定性研究中，无环条件的提出是以Ω爆炸为其背景的。已经证明：满足公理A和无环条件的系统是Ω稳定和拓扑Ω稳定的，并且Ω稳定蕴涵满足公理A和无环条件。

基本集(basic set)是动力系统研究的重要不变集之一，它是根据公理 系统谱分解的基本集所具有的动力学性质而抽象出来的概念。设 是微分流形， 是微分同胚，如果 的一个闭不变集 满足;

1. 是双曲的；

2. 周期点在 中稠密；

3. 在 上是拓扑传递的；

4. 存在开集 使得

则称 是基本集，对M上的可微流 设 是 的闭不变集，如果 是一个双曲奇点，或者 满足：

1. 是双曲的且不含奇点；

2. 中周期轨道上的点在 中稠密；

3. 在 上是拓扑传递的；

4. 存在开集 使得

则称 是基本集，在动力系统的研究中，对基本集的理解一般认为它不是单独的一个双曲不动点(双曲奇点)。基本集的作用在于它在很大程度上确定了系统的轨道结构。

拓扑Ω稳定性(topological Ω-stability)亦称Ω半稳定性，通常是用来描述系统在小扰动下非游荡集的稳定性质的.

设M是紧致度量空间，是同胚，如果对任意存在使对任一同胚，只要就存在连续满射(其中表示(·)的非游荡集)，满足：

1.，即上图可交换；

2.；

则称是拓扑稳定的。

对M上的连续流而言，其定义如下：设φ是M上的连续流，如果对任意存在使得对M上任一连续流ψ，只要对任意有就存在连续满射满足：

1.对任h将ψ过x的轨道映到φ过的轨道上；

2.

则称φ是拓扑稳定的。公理A和无环条件蕴涵着拓扑稳定性。