整系数多项式是数论中研究的一类多项式，指系数都是整数的多项式。所有的整系数多项式对加、减、乘运算是自封闭的。如果一组整系数多项式适合以下条件时，就称这组整系数多项式构成一个理想集合：

我们把形如

的表达式叫做x的多项式，记为 ，其中n是正整数，x是一个符号(或文字)， 都是常数，叫做 的系数， 还叫做 的常数项。 叫做 一个项，k叫做这一项的次数。当 时， 叫做 的首项， 叫做首项系数，n叫做 的次数，记为次 ．如果 的系数全为零，则把 叫做零多项式，记为0。我们认为零多项式没有次数，若 ，则说 是零次多项式。

如果多项 的系数 都是整数，我们把 叫做整系数多项式，如果 的系数都是有理数，就把 叫做有理系数多项式。同样地，可以定义实系数多项式和复系数多项式。

(整系数多项式有理根的性质) 若既约分数 为整系数多项式 的根，则：

(1) 且 ；

(2) 除以 所得的商的各项系数必为p的倍数。

证明：因为 为 的根。

所以，由因式定理，有

其中

为有系数多项式。由此可得

可化为

由根的意义，有

可化为

故得

①

可知 为整数，但 ，故 为整数，又 时，式①变为

由此得

最高次项系数为1的整系数多项式的有理根必为整数。

若既约分数 为整系数多项式 的根，则除以 所得的商为整系数多项式。

求整系数多项式 的有理根的主要依据，其方法是：首先按定理1的结论(1)或其他有关条件找出有理根的一切可能根 ，然后采用综合除法将 除以 ，根据因式定理，当且仅当 整除 时， 为有理根，除的过程中，如发现商的系数非p的倍数，则根据定理1的结论(2)， 非有理根，可不必再除下去。

例1设，求证：为无理数。

证明:是整系数多项式的一根，

可能的有理根为±1，±2，但

所以无有理数根。

设 为有理系数多项式， 与 有公共根a,则。

定理3的意义是，若有理系数不可约多项式有一根为另一有理系数多项式 的根，则 的全部根均为 的根。

如果有理系数多项式 有无理根 ( ， 为无理数， )，则必有无理根。

如果有理系数多项式 有无理根 ( 为无理数且非同类根式)，则必有无理根 及。